第八章 数项级数习题课
一、主要内容 1、基本概念
数项级数及其部分和、正项级数、交错级数、正部级数、负部级数、级数的敛散性、绝对收敛、条件收敛
2、性质
收敛级数的运算性质、级数收敛的必要条件、各种收敛关系 3、判别法则
任意项级数的判别法则：
定义法 定量和定性分析，既可以判断级数的收敛性、也可以判断级数的发散性，收敛的情形下，还可以求和；
Cauchy收敛准则 定性分析，可以判断级数的收敛和发散性； 必要条件――用于判断级数的发散性；
正项级数的各种判别法 判别正项级数的敛散性； 交错级数的判别法 判断交错级数的敛散性；
Abel判别法和Dirichlet判别法 判断通项可以视为两个因子乘积形式的任意项级数的收敛性。
4、判别原则
A）、抽象和半抽象级数的基本判别法
1）、比较判别法――定性判别法 通常选择几何级数和调和级数为
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比较对象，也用于两个相互关联的级数间的比较。
2）、Cauchy收敛准则――定性判别方法，常用于简单级数的判断，也可以判断发散性。
3）、定义法――定量和定性，用于简单级数的判别。
B）、简单的具体级数的判别法
1）、定义法 特别时要求计算和或有和的关系式时，多用此法； 2）、Cauchy收敛准则 C）、一般的具体级数
1)、正项级数判别法
2）、交错级数判别法
3）、Abel判别法和 Dirichlet判别法
5、判断级数敛散性的一般程序 1）、检验通项是否收敛于0
2）、能否计算部分和
3）、是否可以与几何级数作比较 4）、能否用比较、根式或Raabe判别法 5）、能否用积分判别法 6）、考虑用Cauchy收敛准则
7）、更精细的判别法如Kumer 、Gauss判别法等、
注、对较为复杂的数项级数，在使用上述一般程序前，一定要充分利
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用已经掌握的知识如微积分公式、增量公式、Taylor展开等，先分析结构，由结构决定方法。 二、典型例子
例1、若?an收敛，证明?n?1?an也收敛。 2nn?1?分析 这是一个半抽象级数，由于已知另一个级数的收敛性，因此，可以通过考察二者的关系，从而利用比较判别法证明结论，此时通常需要确定一个作对比的级数，这需要分析通项结构，确定相关的对比级数，然后寻求为此所需的各个条件，对本题，作为对比的级数显然是?an或
n?1??￥n=11，分析条件可以发现，后者可以作为对比级数，此时需要对{an}进2n?n?1行有界性估计；当然，若?an为正项级数或绝对收敛，也可以旋转前者为对比级数。
证明：由于?an收敛，因而，{an}收敛于0，故，存在N，使得n>N
n?1?时，
|an因而，n>N时，
an1， ?n2n2|￡1，
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