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初中数学的探索性问题
作者：李建豪
来源：《读写算》2011年第38期
【摘要】初中数学新课程标准的突出亮点之一是加大力度培养学生的创新意识和探索精神。近年来，各地中考试卷中屡见探索性问题，许多学生感觉求解这类问题很困难，因此，我以北师大版八年级上册的有关问题为例，进行归类研究，帮助学生减轻学习的难度。 【关键词】探索规律型 探索结论型 探索条件型 探索存在型
一、探索规律型
对题中给出的条件，通过计算、观察、类比、分析、猜想等方法概括归纳出一般规律，再利用规律进行有关解答。 例1:已知=-1 ①观察猜想
②利用上述规律计算： 解：① ② = =
==100-1=99
例2（1）若菱形的两条对角线长分别为a和b，则菱形的面积可表示为
（2）若四边形的对角线互相垂直，且长度分别为a、b，则四边形的面积应多少？ （说明理由）
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（3）根据上述的信息，你可以得到一个什么结论？用一句话概括出来：
（4）若梯形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，且AC=4，BD=6,AD//BC，则梯形ABCD的面积是多少？
解：（1）ab （2）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD,AC= BD=b.则S△ABD= S△CBD= S四边形ABCD=S△ABD+ S△CBD =+
=·（OA+OC）=·AC=
（3）对角线互相垂直的四边形，它的面积等于对角线的长的积的一半。 （4）S梯形ABCD=×4×6=12
二、探索结论型
一般从条件出发，通过观察、分折、寻找特征或规律，猜想结果或出现目标，再给出证明或举出反例。
例3:如图，已知点在D在△ABC的BC边上，DE//AC，交AB于点E，DF//AB交AC于点F，若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明现由。 解：猜想四边形AEDF的菱形
理由：∵DE//AC ∴DE//AF ∵DF//AB ∴DF//AE
∴四边形AEDF的平行四边形∵AD平分∠BAC∴∠DAF=∠DAE ∵DE//AC∴∠DAF=∠ADE∴∠DAE=∠ADE∴AE=DE ∴四边形AEDF是菱形
三、探索条件型
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一般需要从结论出发，依据已知条件，和所学的基础知识，通过必要的逻辑推理，一步一步地找出其成立的等价条件，追根索因。
如上述例3中，可加一个问题：当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形。 当条件为△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
例4:如图，△ACD，△ABE，△BCF均为直线BC同侧的等边三角形。 （1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形。 （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形。 证明（1）：
∵△ACD、△ABE、△BCF是等边三角形 ∴∠EBA=∠FBC=60°AC=AD，EB=AB，FB=CB
∴∠EBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA ∴∠EBF=∠ABC 在△EBF和△ABC中
∴△EBF≌△ABC（ＳＡＳ） ∴EF＝AC ∵AC＝AD ∴EF＝AD 同理得 EA＝FD ∴四边形ADFE是平行四边形
（2）当∠BAC＝150°，AB＝AC时，四边形ADFE是正方形。
理由∵△ABE，△ACD是等边三角形.∴AE＝AB，AC＝AD∠BAE＝∠CAD＝60°当∠BAC＝150°则∠EAD＝360°-60°-60°-150°=90°当AB=AC时AE=AB=AC=AD 又∵四边形ADFE是平行四边形∴四边形ADFE是正方形。 四、探索存在型
它的主要解题思路是先对结论做肯定的假设，然后结合条件进行推论，若推论无矛盾，则正确，反之，则否定此结论。
初中数学的探索性问题
