数学试卷
考点： 相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质． 专题： 综合题．
分析： （1）已知AE∥BC，则有∠EAB+∠B=180°，要证四边形ABDE是平行四边形，只需证AB∥ED，只需证到∠EAB+∠E=180°，只需得到∠B=∠E，只需证到△ABC∽△ADE即可．
（2）易证∠MAN=∠BAD，根据相似三角形对应中线的比等于相似比可得=，就可得
到△AMN∽△ABD． （3）利用相似三角形的性质可以用x的代数式表示出MN及rN的长，只需求出两圆外切时的x的值，就可解决问题．
解答： （1）答：四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图（1）， ∵AB=AC，AD=AE， ∴
=
．
∵∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE． ∴∠E=∠ACB． ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B． ∴∠E=∠B． ∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°． ∴AB∥ED．
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）证明：如图（2）， ∵AB=AC，M是BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=∠BAC． 同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=∠DAE． ∵∠BAC=∠DAE，
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∴∠BAM=∠DAN．
∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN， ∠BAD=∠BAM+∠MAC+∠CAD， ∴∠MAN=∠BAD．
∵△ABC∽△ADE（已证），M是BC中点，N是DE中点， ∴
=
．
∴△AMN∽△ABD．
（3）解：∵AM⊥BC，
22222
∴AM=AB﹣BM=AD﹣MD． ∵AB=6，BM=2，MD=x﹣2， ∴AM=6﹣2=AD﹣（x﹣2）． ∴AM=4
，AD=
．
2
2
2
2
2
∵△ABC∽△ADE， ∴
=
．
∴AB?DE=AD?BC． ∴6×DE=∴DE=∴rN=
×4． ． ．
∵△AMN∽△ABD， ∴
=
．
∴AB?MN=AM?BD． ∴6MN=4x． ∴MN=
x．
当⊙M与⊙N外切时，MN=rM+rN． ∴∴∴2
2
x=2+x﹣2=x﹣6=
2
． ． ．
∴8x﹣24x+36=x﹣4x+36．
2
∴7x=（24﹣4）x． ∵点D在BC的延长线上， ∴x＞4．
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∴x=∴当x=两圆外离．
．
时，两圆外切；当4≤x＜
时，两圆相交；当x＞
时，
点评： 本题重点考查了相似三角形的判定与性质，另外还考查了平行四边形的判定、两圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，综合性比较强，而考虑两圆外切这个临界位置是解决第（3）小题的关键．
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