∴sinA===，∴AB=6．∴AC==2．故选B．
点评：此题主要考查运用勾股定理和三角函数的定义解直角三角形．
8．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=300 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。 专题：增长率问题。
分析：知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．
解答：解：设绿化面积平均每年的增长率为x，300（1+x）2=363．故选B．
点评：本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程．
9．如图，EF是圆O的直径，OE=5cm，弦MN=8cm，则E，F两点到直线MN距离的和等于（ ）A．12cm B．6cm C．8cm D．3cm 考点：垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理。
分析：由图可以明显的看出OK∥EG∥FH，而O是EF的中点，因此OK是梯形EGHF的中位线，欲求EG+FH的值，需求出OK的长；在Rt△OMK中，由垂径定理易知MK的长度，即可根据勾股定理求出OK的值，由此得解． 解答：解：∵EG⊥GH，OK⊥GH，FH⊥GH，∴EG∥OK∥FH；∵EO=OF，∴OK是梯形EGHF的中位线，即EG+FH=2OK；Rt△OKM中，MK=MN=4cm，OM=OE=5cm；由勾股定理，得：OK=
=3cm；
∴EG+FH=2OK=6cm；故选B．点评：此题主要考查了垂径定理、勾股定理以及梯形中位线定理的综合应用． 10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①c＞0；②a+b+c＜0；③ab＜0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点：二次函数图象与系数的关系。
分析：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性． 解答：解：根据图象可知： ①c＜0，错误；
②当x=1时，y=a+b+c＜0，正确； ③函数的对称轴﹣
＜0，所以ab＞0，错误；
④图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，正确； 正确的有2个． 故选B．
点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．
二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分.） 11．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是 5或
．
考点：换元法解一元二次方程。 专题：换元法。
分析：观察知，可用换元法把5﹣x看作一个整体，求解方程即可．
解答：解：根据题意，令y=5﹣x，代入原方程得：3y2=2y，解得y1=0，y2=， ∴x1=5，x2=
；
点评：本题考查换元法解一元二次方程，是基础题型．
12．（2008?宁夏）从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是
．
考点：概率公式；一次函数图象与系数的关系。
分析：从﹣1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中函数y=﹣1?x+3是y随x增大而减小的，函数y=1?x+3和y=2?x+3都是y随x增大而增大的，所以符合题意的概率为． 解答：解：P（y随x增大而增大）=． 故本题答案为：．
点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数未知数的比例系数大于0，y随x的增大而增大．
13．一个点到一个圆的最短距离是3cm，最长距离是5cm，则这个圆的半径是 1或4 cm． 考点：点与圆的位置关系。
分析：答题时要考虑该点在圆外和圆内两种情况，然后作答． 解答：解：本题没有明确告知点的位置，应分点在圆内与圆外两种情况，
当点P在⊙O内时，此时PA=3cm，PB=5cm，AB=8cm，因此半径为4cm；
当点P在⊙O外时，如图此时PA=3cm，PB=5cm，直线PB过圆心O，直径AB=PA=5﹣3=2cm，因此半径为1cm． 点评：本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
14．一个人沿坡度比为1：的斜坡前进10米，则他升高 5 米． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析：根据题意画出示意图，由坡度可求出∠A的度数，又由AB=10米，可得出BC的长度． 解答：解：由题意得tan∠A=
，∴∠A=30°．∵AB=10米，∴BC=5米．即他升高了5米．
点评：本题考查了坡角的定义和三角函数定义的应用．
15．（2007?莆田）如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，B点在x轴上且OA=BA，
则
△AOB的面积为 1 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质。 专题：数形结合。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=\\frac{1}{2}|k|．又由于OA=AB，则△AOB的面积为2S，即|k|．
解答：解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
所以过点A向x轴作垂线，垂足是C，则S△ABO=2S△AOC=2×|k|=|k|． 所以△ABO的面积S=1． 故答案为：1．
点评：主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、
y轴垂
线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 16．已知0°＜∠α＜90°且cosα=
，那么tanα=
．
考点：特殊角的三角函数值。分析：根据特殊角三角函数值解答． 解答：解：根据题意，0°＜∠α＜90°，cosα=
，∴∠α=30°．∴tanα=tan30°=
．
点评：本题考查特殊角的三角函数值，要求学生牢记． 17．（2009?大兴安岭）梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为 3 ． 考点：梯形。
分析：作DE∥AB交BC于点E，从而可求得∠CDE的度数，从而就不难求得AB的长． 解答：解：作DE∥AB交BC于点E，得到平行四边形ABED ∴∠CED=∠B=40°，BE=AD=1 ∴∠CDE=70°
∴AB=DE=CE=4﹣1=3．
点评：此题综合运用了平行四边形的性质和等腰三角形的性质． 18．（2009?内江）已知5x2﹣3x﹣5=0，则5x2﹣2x﹣考点：代数式求值。 专题：整体思想。
分析：由已知条件5x2﹣3x﹣5=0可得，5x2﹣2x=x+5，整体代入，再由已知变形得x﹣=，代入求值即可． 解答：解：5x2﹣2x﹣
=
．
=x+5﹣，
∵5x2﹣3x=5，两边同除以5x得：x﹣=， ∴原式=x+5﹣=
．
点评：代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式5x2﹣3x﹣5的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．此题主要是对已知条件的两次变形．
19．（2010?衡阳）如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k= 2 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
解答：解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，∴DE∥AB，∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，∴DE为Rt△OAB的中位线， ∵双曲线y=（k＞0），可知S△AOC=S△DOE=k，∴S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3，得2k﹣k=3，解得k=2．故本题答案为：2．
点评：主要考查了反比例函数
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴
垂此
线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做类题一定要正确理解k的几何意义． 20．如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为
考点：切割线定理。
分析：作辅助线DB，因为∠C=60°，∠CDB=90°可推出CD为BC的一半；又因为∠CEDD=∠CAB，∠CDE=∠CBA可知△CDE∽△CBA，可知DE为AB的一半． 解答：解；连接DB，
．则DE的长为 ．
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵∠C=60°，∴CD=CB，∵CEDD=∠CAB，∠CDE=∠CBA，∴CDE∽△CBA，∴
=
=，∴DE=2
．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质和直角三角形的性质，注意辅助线的应用．
三、解答题（共21分，每小题21分） 21．（1）计算：（﹣2010）0+
﹣2sin60°﹣3tan30°+
；
（2）解方程：x2﹣6x+2=0；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．
①若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
②证明：对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．
考点：抛物线与x轴的交点；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；根的判别式；根与系数的关系；特殊角的三角函数值。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）根据实数的运算法则计算． （2）根据一元二次方程求根公式求解． （3）①先将x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣2=0．求得m=1．再将m=1代入方程x2﹣mx﹣2=0．得到方程x2﹣x﹣2=0．解方程即可．
②根据根的判别式△=b2﹣4ac=m2+8＞0，可判断一元二次方程x2﹣mx﹣2=0有两个不相等的实数根，即对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点． 解答：解：（1）原式=1﹣8﹣﹣﹣1 =﹣8﹣；
（2）∵a=1，b=﹣6，c=2，△=b2﹣4ac=36﹣8=28，∴x=
，x1=3+
，x2=3﹣
；
（3）①将x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣2=0．解得：m=1．将m=1代入方程x2﹣mx﹣2=0，得到x2﹣x﹣2=0． 解方程得：x1=﹣1，x2=2．即方程的另一根为2．
②关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0，∵△=m2+8＞0，∴对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．点评：本题重点考查了实数的运算、一元二次方程根的意义以及根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，难度中等．
四、解答题（每小题8分，共16分） 22．（2008?白银）小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张． 小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法。 专题：阅读型。
分析：游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中小慧获胜与我获胜的概率概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论． 解答：解：（1）树状图为： 共有12种等可能的结果．（4分）
（2）游戏公平．（6分）
∵两张牌的数字都是偶数有6种结果： （6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）． ∴小明获胜的概率P=
=．（8分）
小慧获胜的概率也为． ∴游戏公平．（10分）
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题。 专题：应用题。
分析：过点P作PC⊥AB，垂足为C，根据题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，然后在Rt△APC中可表示出PC，在Rt△PCB中可表示出PB，进而可得出答案． 解答：解：过点P作PC⊥AB，垂足为C， ∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60， 在Rt△APC中，cos∠APC=PC=PA?cos∠APC=30
，
，
最新重点高中自主招生数学试题4含答案培训资料
