∴sinA===,∴AB=6.∴AC==2.故选B.
点评:此题主要考查运用勾股定理和三角函数的定义解直角三角形.
8.某市2004年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2006年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是( ) A.300(1+x)=363 B.300(1+x)2=363 C.300(1+2x)=363 D.363(1﹣x)2=300 考点:由实际问题抽象出一元二次方程。 专题:增长率问题。
分析:知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006,绿化面积成为363,设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意可列出方程.
解答:解:设绿化面积平均每年的增长率为x,300(1+x)2=363.故选B.
点评:本题考查的是个增长率问题,关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程.
9.如图,EF是圆O的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,则E,F两点到直线MN距离的和等于( )A.12cm B.6cm C.8cm D.3cm 考点:垂径定理;勾股定理;梯形中位线定理。
分析:由图可以明显的看出OK∥EG∥FH,而O是EF的中点,因此OK是梯形EGHF的中位线,欲求EG+FH的值,需求出OK的长;在Rt△OMK中,由垂径定理易知MK的长度,即可根据勾股定理求出OK的值,由此得解. 解答:解:∵EG⊥GH,OK⊥GH,FH⊥GH,∴EG∥OK∥FH;∵EO=OF,∴OK是梯形EGHF的中位线,即EG+FH=2OK;Rt△OKM中,MK=MN=4cm,OM=OE=5cm;由勾股定理,得:OK=
=3cm;
∴EG+FH=2OK=6cm;故选B.点评:此题主要考查了垂径定理、勾股定理以及梯形中位线定理的综合应用. 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①c>0;②a+b+c<0;③ab<0;④b2﹣4ac>0,其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点:二次函数图象与系数的关系。
分析:根据二次函数图象反映出的数量关系,逐一判断正确性. 解答:解:根据图象可知: ①c<0,错误;
②当x=1时,y=a+b+c<0,正确; ③函数的对称轴﹣
<0,所以ab>0,错误;
④图象与x轴有两个交点,所以b2﹣4ac>0,正确; 正确的有2个. 故选B.
点评:主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.
二、填空题(本大题共5道小题,每小题3分,共15分.) 11.方程3(x﹣5)2=2(5﹣x)的解是 5或
.
考点:换元法解一元二次方程。 专题:换元法。
分析:观察知,可用换元法把5﹣x看作一个整体,求解方程即可.
解答:解:根据题意,令y=5﹣x,代入原方程得:3y2=2y,解得y1=0,y2=, ∴x1=5,x2=
;
点评:本题考查换元法解一元二次方程,是基础题型.
12.(2008?宁夏)从﹣1,1,2三个数中任取一个,作为一次函数y=kx+3的k值,则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是
.
考点:概率公式;一次函数图象与系数的关系。
分析:从﹣1,1,2三个数中任取一个,共有三种取法,其中函数y=﹣1?x+3是y随x增大而减小的,函数y=1?x+3和y=2?x+3都是y随x增大而增大的,所以符合题意的概率为. 解答:解:P(y随x增大而增大)=. 故本题答案为:.
点评:用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比;一次函数未知数的比例系数大于0,y随x的增大而增大.
13.一个点到一个圆的最短距离是3cm,最长距离是5cm,则这个圆的半径是 1或4 cm. 考点:点与圆的位置关系。
分析:答题时要考虑该点在圆外和圆内两种情况,然后作答. 解答:解:本题没有明确告知点的位置,应分点在圆内与圆外两种情况,
当点P在⊙O内时,此时PA=3cm,PB=5cm,AB=8cm,因此半径为4cm;
当点P在⊙O外时,如图此时PA=3cm,PB=5cm,直线PB过圆心O,直径AB=PA=5﹣3=2cm,因此半径为1cm. 点评:本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
14.一个人沿坡度比为1:的斜坡前进10米,则他升高 5 米. 考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析:根据题意画出示意图,由坡度可求出∠A的度数,又由AB=10米,可得出BC的长度. 解答:解:由题意得tan∠A=
,∴∠A=30°.∵AB=10米,∴BC=5米.即他升高了5米.
点评:本题考查了坡角的定义和三角函数定义的应用.
15.(2007?莆田)如图,点A为反比例函数y=的图象上一点,B点在x轴上且OA=BA,
则
△AOB的面积为 1 .
考点:反比例函数系数k的几何意义;等腰三角形的性质。 专题:数形结合。
分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=\\frac{1}{2}|k|.又由于OA=AB,则△AOB的面积为2S,即|k|.
解答:解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,
所以过点A向x轴作垂线,垂足是C,则S△ABO=2S△AOC=2×|k|=|k|. 所以△ABO的面积S=1. 故答案为:1.
点评:主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、
y轴垂
线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|. 16.已知0°<∠α<90°且cosα=
,那么tanα=
.
考点:特殊角的三角函数值。分析:根据特殊角三角函数值解答. 解答:解:根据题意,0°<∠α<90°,cosα=
,∴∠α=30°.∴tanα=tan30°=
.
点评:本题考查特殊角的三角函数值,要求学生牢记. 17.(2009?大兴安岭)梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,∠C=70°,∠B=40°,则AB的长为 3 . 考点:梯形。
分析:作DE∥AB交BC于点E,从而可求得∠CDE的度数,从而就不难求得AB的长. 解答:解:作DE∥AB交BC于点E,得到平行四边形ABED ∴∠CED=∠B=40°,BE=AD=1 ∴∠CDE=70°
∴AB=DE=CE=4﹣1=3.
点评:此题综合运用了平行四边形的性质和等腰三角形的性质. 18.(2009?内江)已知5x2﹣3x﹣5=0,则5x2﹣2x﹣考点:代数式求值。 专题:整体思想。
分析:由已知条件5x2﹣3x﹣5=0可得,5x2﹣2x=x+5,整体代入,再由已知变形得x﹣=,代入求值即可. 解答:解:5x2﹣2x﹣
=
.
=x+5﹣,
∵5x2﹣3x=5,两边同除以5x得:x﹣=, ∴原式=x+5﹣=
.
点评:代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中,首先应从题设中获取代数式5x2﹣3x﹣5的值,然后利用“整体代入法”求代数式的值.此题主要是对已知条件的两次变形.
19.(2010?衡阳)如图,已知双曲线y=(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为3,则k= 2 .
考点:反比例函数系数k的几何意义。
分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|.
解答:解:过D点作DE⊥x轴,垂足为E,
∵Rt△OAB中,∠OAB=90°,∴DE∥AB,∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D,∴DE为Rt△OAB的中位线, ∵双曲线y=(k>0),可知S△AOC=S△DOE=k,∴S△AOB=4S△DOE=2k,由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3,得2k﹣k=3,解得k=2.故本题答案为:2.
点评:主要考查了反比例函数
中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴
垂此
线,所得三角形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做类题一定要正确理解k的几何意义. 20.如图,在△ABC中,∠C=60°,以分别交AC,BC于点D,E,已知圆O的半径为
考点:切割线定理。
分析:作辅助线DB,因为∠C=60°,∠CDB=90°可推出CD为BC的一半;又因为∠CEDD=∠CAB,∠CDE=∠CBA可知△CDE∽△CBA,可知DE为AB的一半. 解答:解;连接DB,
.则DE的长为 .
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°,∵∠C=60°,∴CD=CB,∵CEDD=∠CAB,∠CDE=∠CBA,∴CDE∽△CBA,∴
=
=,∴DE=2
.
点评:本题考查了圆内接四边形的性质和直角三角形的性质,注意辅助线的应用.
三、解答题(共21分,每小题21分) 21.(1)计算:(﹣2010)0+
﹣2sin60°﹣3tan30°+
;
(2)解方程:x2﹣6x+2=0;
(3)已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0.
①若﹣1是方程的一个根,求m的值和方程的另一根;
②证明:对于任意实数m,函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点.
考点:抛物线与x轴的交点;零指数幂;负整数指数幂;解一元二次方程-配方法;根的判别式;根与系数的关系;特殊角的三角函数值。 专题:计算题;证明题。 分析:(1)根据实数的运算法则计算. (2)根据一元二次方程求根公式求解. (3)①先将x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣2=0.求得m=1.再将m=1代入方程x2﹣mx﹣2=0.得到方程x2﹣x﹣2=0.解方程即可.
②根据根的判别式△=b2﹣4ac=m2+8>0,可判断一元二次方程x2﹣mx﹣2=0有两个不相等的实数根,即对于任意实数m,函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点. 解答:解:(1)原式=1﹣8﹣﹣﹣1 =﹣8﹣;
(2)∵a=1,b=﹣6,c=2,△=b2﹣4ac=36﹣8=28,∴x=
,x1=3+
,x2=3﹣
;
(3)①将x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣2=0.解得:m=1.将m=1代入方程x2﹣mx﹣2=0,得到x2﹣x﹣2=0. 解方程得:x1=﹣1,x2=2.即方程的另一根为2.
②关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0,∵△=m2+8>0,∴对于任意实数m,函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点.点评:本题重点考查了实数的运算、一元二次方程根的意义以及根的判别式和根与系数的关系,是一个综合性的题目,难度中等.
四、解答题(每小题8分,共16分) 22.(2008?白银)小明和小慧玩纸牌游戏.如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小明先从中抽出一张,小慧从剩余的3张牌中也抽出一张. 小慧说:若抽出的两张牌的数字都是偶数,你获胜;否则,我获胜. (1)请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果;
(2)若按小慧说规则进行游戏,这个游戏公平吗?请说明理由.
考点:游戏公平性;列表法与树状图法。 专题:阅读型。
分析:游戏是否公平,关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会,本题中小慧获胜与我获胜的概率概率是否相等,求出概率比较,即可得出结论. 解答:解:(1)树状图为: 共有12种等可能的结果.(4分)
(2)游戏公平.(6分)
∵两张牌的数字都是偶数有6种结果: (6,10),(6,12),(10,6),(10,12),(12,6),(12,10). ∴小明获胜的概率P=
=.(8分)
小慧获胜的概率也为. ∴游戏公平.(10分)
点评:本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.如图,一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向,渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处.求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离(结果保留根号).
考点:解直角三角形的应用-方向角问题。 专题:应用题。
分析:过点P作PC⊥AB,垂足为C,根据题意可得∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=60,然后在Rt△APC中可表示出PC,在Rt△PCB中可表示出PB,进而可得出答案. 解答:解:过点P作PC⊥AB,垂足为C, ∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=60, 在Rt△APC中,cos∠APC=PC=PA?cos∠APC=30
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