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?xn?yn?zn,??yn?zn?zn?1??0, ① ??yn?0,?z?z?0,z?00?nn?1的?yn,zn?存在且唯一．下面用数学归纳法证明之．
（1）当n?1时，y1?z1?z0??y1z1?0，这样有y1?0,z1??x1或者y1?x1,z1?0. 若x1?0,则y1?x1,z1?0．若x1?0，则y1?0,z1??x1．此时命题成立． （2）假设当n?k?k?1?时，命题成立，则当n?k?1时，①等价于 这样有yk?1?0,zk?1?zk???xk?1?zk?或yk?1?xk?1?zk,zk?1?zk?0.进一步 若xk?1?zk?0，则yk?1?xk?1?zk,zk?1?zk?0.即yk?1?xk?1?zk,zk?1?zk. 若xk?1?zk?0，则yk?1?0,zk?1?zk???xk?1?zk?，即yk?1?0,zk?1??xk?1. 故当n?k?1时，命题成立．
（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数n，命题均成立．从而原命题得证． 四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）
19.设集合A?x?N|x的十进制表示中数码不含2,0,1,6.证明：
?*?1?3. ?xx?A（注：
?x表示集合A中的所有元素的倒数之和）
x?A1证 在k位正整数中，各位上的数码不含数字2,0,1,6的共有6个，其中首位数字为3,4,
k5,7,8,9的各有6k?1个，所以，所有不含数字2,0,1,6的k位数的倒数和小于
所以，
20.设正整数n?2，对2?n格点链中的2n个结点用红?R?、黄?Y?、蓝?B?三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示．若对剩余的2n?3个结点，要求每个结点恰
染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．
解 对2?n格点链中的2n个结点用红?R?、黄?Y?、蓝?B?三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为P,Q如下图所示．
记P?R（或Y），Q?B时的着色数目为an；记P?B,Q?R（或Y）时的者色数目为bn； 我们注意到：
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（1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有3种不同的着色方法，则 （2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色R和Y互换，可知 （3）考虑相互的递推特征，则 由上三式知，
即为问题所求的不同的染色方法数．
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2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案
