§2.8 势垒贯穿
重点：隧穿问题的求解 难点：透射和反射系数的计算
本节讨论体系的势能在无限远处为有限（下面取为零）、波函数在无限远处不为零的情况，此时体系的能量可取任意值，即组成连续谱。这类问题属于散射问题。已知势场和粒子能量，求波函数。 一、一维散射现象
?U U(x)=?0
?0
0
(U0>0)
这样的势场称为方形势垒。 经典情况：
?E>U0 粒子全部越过势垒
?
?E 量子情况： ?E>U0 粒子可能越过势垒，也可能被反射回来 ? ?E 称E 二、方程的求解 &dinger方程为： 粒子的波函数ψ所满足的定态Schr&o ６８ h2d2 区域I、III: ?ψ(x)=Eψ(x) (1) 2 2μdxh2d2 ψ(x)+U0ψ(x)=Eψ(x) (2) 区域II : ?2 2μdx 1.当E>U0时的情况 (1)方程的解: 令k1= 2μE , k2=2h 2μ(E?U0) ， (3) 2 h 则方程(1)、(2)改写为: 2 区域I、III： ψ''+k1ψ=0 (4) 区域II ： ψ''+k22ψ=0 (5) 其中k1,k2均为大于零的实数。(4)、(5)式的解为： ψI=Aeik1x+A'e?ik1x (x<0) (6) ψII=Beik2x+B'e?ik2x (0 ΨI(x,t)： Aei(k1x?ωt) 右行波 （入射波）； ６９ A'e?i(k1x+ωt) 左行波 （反射波）， ΨII(x,t)： Bei(k2x?ωt) 右行波； B'e?i(k2x+ωt) 左行波， ΨIII(x,t)： Cei(k1x?ωt) 右行波 （透射波）。 (2)几率流密度和粒子数守恒 vih 由几率流密度矢量的定义J≡(Ψ?Ψ*?Ψ*?Ψ)可以得到入射波 2μ Aei(k1x?ωt)、反射波A'e?i(k1x+ωt)和透射波Cei(k1x?ωt)的几率流密度矢量的大小分别为: Jλ= hkhk12hk22 A；JD=1C； JR=?1A' (9) μμμ 由几率分布的连续性方程∫ ?w dτ=?∫JxdS，得 V?tS Jλ?(JR+JD)=0（入=出） 即：A=A'+C (10) 也就是说若有N个粒子在单位时间内通过单位面积流入V，则同时有N个粒子流出V。 (3)透射系数和反射系数的定义 定义:透射系数D≡ 2 2 2 JD ==2，反射系数R≡ 2JλJλAA C 2 JR A' 2 则：R+D=(JR+JD)/Jλ=1 (11) (4)透射系数和反射系数的计算 ７０ 根据波函数的标准条件，即波函数的有限性，有： ψI(0)=ψII(0) ? A+A'=B+B' ψ'I(0)=ψ'II(0) ? k1(A?A')=k2(B?B') ψII(a)=ψIII(a) ? Beik2a+B'e?ik2a=Ceik1a ψ'II(a)=ψ'III(a) ? k2(Beik2a?B'e?ik2a)=Ck1eik1a 由以上四式可把C,A'表示成A的形式，即： 4k1k2e?ik1a C=A ik2a2?ik2a ?(k1?k2)e(k1+k2)e 2 ?k22i(k12)sink2a A'=A 2ik2a2?ik2a (k1?k2)e?(k1+k2)e 22 CJD4k1k2=2=2于是：透射系数D= 22222J(k1?k2)sink2a+4k1k2A 2 反射系数R= JRJ = A'A 22 222 (k1?k22)sink2a=2=1?D 22222 (k1?k2)sink2a+4k1k2 这就证实了我们前面的预言。 2.当E 2μ(E?U0) =ik3 2 h 其中：k3= 2μ(U0?E) 为实数 2 h 可见，将前面的计算中的k2换成ik3，仍然成立。利用关系式 ７１ 224k1k2 shx=?isinix，则由D=2，将k2换成ik3，22222 (k1?k2)sink2a+4k1k2 有： 224k1k3 D=2 2222 (k1+k3)sh2k3a+4k1k3 说明：若能量E很小，且势垒宽度a不太小，以至于k3a>>1，即： ek3a>>e?k3a 则sh2k3a= 1k3a1 (e?e?k3a)2≈e2k3a 44 1 1k1k322k3a (+)e+116k3k1 于是透射系数D= 而k1和k3同数量级 k3a>>1，即e2k3a>>4 所以 D=D0e?2k3a=D0exp(? 2 2μ(U0?E)a) (12) h 其中D0为常数，它的数量级接近于1。 可见，透射系数随势垒的加宽或加高而减少（且作指数衰减），所以在宏观实验中不易观测到粒子贯穿势垒的现象。 （参阅P49的例子） (2)势垒为任意形状 采用微元法，粒子贯穿小方垒的透射系数 Di=D0iexp[? 2 2μ[U(x)?E]dx] h ７２
物理学相关 chapter2.8
