1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为v,平均速率为v．
(1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr｜= Δs = Δr
(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr (C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds (D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds (2) 根据上述情况,则必有( )
(A) ｜v｜= v,｜v｜= v (B) ｜v｜≠v,｜v｜≠ v (C) ｜v｜= v,｜v｜≠ v (D) ｜v｜≠v,｜v｜= v
分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．
(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故
ΔrΔs,即｜v｜≠v． ?ΔtΔt但由于｜dr｜＝ds,故
drds?,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)． dtdt1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
22drdrds?dx??dy?(1)； (2)； (3)； (4)?????．
dtdtdtdtdt????下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 分析与解
dr表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速dt率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；
dr表示速度矢量；在自然dt22ds?dx??dy?坐标系中速度大小可用公式v?计算,在直角坐标系中则可由公式v??????dt?dt??dt?求解．故选(D)．
1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即
(1)d v /dt ＝a；(2)dr/dt ＝v；(3)ds/dt ＝v；(4)d v /dt｜＝aｔ． 下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的
dv表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速dtdr度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所
dt分析与解 述)；
dsdv在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a
dtdtｔ
．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)． 1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向
的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )
(A) 匀加速运动,v?v0 cosθ(B) 匀减速运动,v?v0cosθ (C) 变加速运动,v?v0 cosθ(D) 变减速运动,v?v0cosθ (E) 匀速直线运动,v?v0
分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为
dldxdt,式中dl表示绳长l ?x?l2?h2,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度v?dtdtl2?h2l随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为v?速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)．
讨论 有人会将绳子速率v0按x、y 两个方向分解,则小船速度v?v0cosθ,这样做对吗 1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为x?2?6t2?2t3,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：
(1) 质点在运动开始后 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程；
(3) t＝4 s时质点的速度和加速度．
分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：
v0l2?h2/l?v0,方向沿x 轴负向．由cosθΔx?xt?x0,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移
的大小和路程就不同了．为此,需根据
dx?0来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和dttp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程s??x1??x2,如图所示,至于t ＝ s 时质
dxd2x点速度和加速度可用和2两式计算．
dtdt解 (1) 质点在 s内位移的大小Δx?x4?x0??32m (2) 由
dx?0 dt得知质点的换向时刻为tp?2s (t＝0不合题意) 则Δx1?x2?x0?8.0m Δx2?x4?x2??40m 所以,质点在 s时间间隔内的路程为s?Δx1?Δx2?48m
(3) t＝ s时
v?dx??48m?s?1
dtt?4.0sd2xa?2??36m.s?2
dtt?4.0s1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t＝0 时,x＝0．试根据已知的v-t 图,画出a-t 图以及x -t 图．
分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线．又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图．
解 将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为
aAB?vB?vA?20m?s?2 (匀加速直线运动)
tB?tAaBC?0 (匀速直线运动) aCD?vD?vC??10m?s?2 (匀减速直线运动)
tD?tC根据上述结果即可作出质点的a-t 图［图(B)］．
在匀变速直线运动中,有
1x?x?v0t?t2
2由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为
用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作v?20m?s的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．
1 -8 已知质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求： (1) 质点的运动轨迹；
(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；
(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr；
*(4) 2
2?1ｓ 内质点所走过的路程s．
分析 质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则ds?(dx)2?(dy)2,最后用s??ds积分求ｓ． y?2?12x 4解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为
这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．
(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为
r0?2j , r2?4i?2j
图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得
Δr?r2?r1?(x2?x0)i?(y2?y0)j?4i?2j
物理学答案(第五版,上册)马文蔚
