初中数学竞赛专题：几何变换
§16.1对称和平移
16．1．1★设M是边长为2的正三角形ABC的边AB的中点．P是边BC上的任意一点,求PA?PM的最小值．
CPM'A'AMB
解析 作正三角形ABC关于BC的对称图形△A?BC．M?是M的对称点,故M是A?B的中 点．PM?PM?,如图所示,则
PA?PM?PA?PM?≥AM?.
连结CM?,易知?ACM??90?,所以AM??AC2?CM?2?4?3?7． 所以,PA?PM的最小值是7．
16．1．2★★已知△ABC中,?A?60?．试在△ABC的边AB、AC上分别找出一点P、Q,使
BQ?QP?PC最小．
解析 作B关于直线AC的对称点B?,C关于直线AB的对称点C?,连B?C?与AB、AC分别交于点
P、Q,则P、Q即为所求,如图所示．
CPM'A'AMB
事实上,对于AB、AC上的任意点P?,Q?,
BQ??Q?P??P?C?B?Q??Q?P??P?C? ≥B?C??B?Q?QP?PC? ?BQ?QP?PC．
评注 因为?A?60?,所以所作线段B?C?必与线段AB、AC相交．
16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．
解析 如图所示,设在直角三角形ABC中,CD是斜边上的高,△PQR是它的任一内接三角形．
BPADQRCUFGTSVE
将Rt△ABC以BC为对称轴反射为Rt△BCE,此时△PQR反射为△SQV,再将Rt△BCE以CE为对称轴反射为Rt△FCE,此时△SQV反射为△TUV延长DC交EF于G．
易知FF∥AB,所以CG?CD,即GD?2CD,且GD是两平行线AB与EF之间的距离． 所以
PQ?QR?RP?PQ?QV?VT≥GD?2CD.
16．1．4★★★在△ABC内取一点M使?MAB?10?,?MBA?30?．设?ACB?80?,
AC?BC．求?AMC.
CEMAHB
解析 本题中△ABC为等腰三角形,这就提示我们利用对称性解题,先作一条对称轴,作△ABC的高CH与直线BM交于点E由对称性知,
?EAB??EBA?30?,
所以?EAM?20?, 从而?CAE?20?,
因为?AME??MAB??MBA?40?,又
1?ACE??ACB=40?,
2所以△CAF≌△MAE, 于是AC?AM,
所以?AMC??180??40???70?．
16．1．5★★在△ABC中,AH是高,H在边BC上,已知?BAC?45?,BH?2,CH?3,求△ABC的面积．
12
解析 作△HAC的关于AC的对称图形△MAC,作△HAB的关于AB的对称图形△NAB．分别延长
MC和NB,它们相交于L,如图所示．
AMNBHLC
易知?M??N?90?,且
?NAM?2?BAC?90?, AM?AH?AN．
所以,四边形LMAN是正方形． 设正方形LMAN的边长为a,则
CL?a?3,BL?a?2．
在直角三角形BCL中,由勾股定理知
BL2?CL2?BC2．
?a?2?2??a?3??25．
2解方程,得a?6,即AH?6．所以
1S△ABC?BC?AH?15．
216．1．6★★★如图,凸四边形PQRS的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上,求证：PQRS的周长不小于22a．
解析 作正方形ABCD关于BC的轴对称图形,得到正方形A1BCD1,再作正方形A1BCD1关于CD1的轴对称图形,得到正方形A2B2CD1,再作正方形A2B2CD1关于A2D1的轴对称图形,得到正方形
A2B3C3D1,而P、Q、R、S四点的对应点如图所示．
APBP1QSDRCR1S2Q2B2P2A2P3A1S1D1R3C3Q3B3
显然,AA2?22a,AP∥A2P3,故
PP3∥AA2,
所以四边形PQRS的周长
PQ?QR?RS?SP ?PQ?QR1?R1S2?S2P3 ≥PP3?AA2?22a．
即四边形PQRS的周长不小于22a．
16．1．7★★★如图,△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,
?ABC??ADE?90?,现固定△ABC而将△ADE绕点A在平面上旋转,试证：不论△ADE旋转到什
么位置,线段EC上必存在点M使△BMD力等腰直角三角形．
BAA'MCDE
解析 如图,设△BMD为等腰直角三角形,下面证明点M在线段EC上． 作A关于BD的对称点A?,则?A?DB??ADB． 因为?ADE?90??2?BDM, 所以?EDM??A?DM?45???A?DB
?45???ADB,
又DA??DA?DE．
所以A?又是E关于DM的对称点． 同理A?也是C关于BM的对称点,因此
?EMD??A?MD,?CMB??A?MD,
又因?BMD?90?, 所以?CME?180?．
即M在EC上（且为EC的中点）．
16．1．8★★★如图,矩形ABCD中,AB?20,BC?10,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM?MN的值最小,试求出这个最小值．
EDFAPNMBGCQ
解析 作AB关于直线AC的对称线段AE,即B、E关于AC对称,作N关于AC的对称点F,则F在
AE上,且有BE?AC于Q,NF?AC于P．
由对称变换可知,MN?BM?MF?MB.
欲使MF?BM最小,必须BMF共线,所以BM?MN最小值为点B到AE的距离BG. 在Rt△ABC中,AB?20,BC?10,所以BQ?AB?BC?45,则BE?2BQ?85． AC2在Rt△ABQ中,AQ?AB2?BQ2?202??45??85．又AE?AB?20,在△ABE 中,S△ABE?BE?AQ?AE?BG,则BG?1212BE?AQ?16．从而BM?MN的最小值为16． AE16．1．9★★凸四边形ABCD中,?ABD??CBD,?ADB??CDB．求证：
AB?AD?BC?CD.
DEPCAB
解析将△BCD沿BD翻折,点C落在点P．因为?ABD??CBD,?ADB??CDB,所以P必定在△ABD内部．BP延长线交AD于点E,则
AB?AD?BE?FD?BP?PD?BC?CD.
16．1．10★★设S表示凸四边形ABCD的面积,证明S≤(AB?CD?BC?AD)．
BlAC12DD'
解析如图,作点D关于AC的垂直平分线l的对称点D?,显然△ACD与△ACD?关于l成轴对称图形．所以
S?SABCD?
?S△BAD??S△BCD?,
?11AB?AD??sin?BAD??BC?CD??sin?BCD? 22≤(AB?AD??BC?CD?)
1?(AB?CD?BC?AD). 216．1．11★★在矩形ABCD内取一点M,使?BMC??AMD?180?,试求?BCM??DAM的值．
M'ADMBC
解析 如图将△BMC沿AB平移至△ADM?,显然MM??AD,?BMC??AM?D．所以,由已知条件
?AM?D??AMD?180?,即A、M、D、M?四点共圆,从而 ?BCM??DAM??ADM???DAM ??AMM???DAM?90?．
16．1．12★★设P是平行四边形ABCD内一点,使得?PAB??PCB, 证明：?PBA??PDA．
APCDP'B
解析 如图,把AP平移至DP?,则?BAP??CDP?,及?PBA??P?CD,PP?∥BC, 所以?P?PC??BCP．
又已知?PAB??PCB,故?P?PC??CDP?,从而P、D、P?、C四点共圆．于是
?P?PD??P?CD,
又?P?PD??PDA, 所以?PBA??PDA．
16．1．13★（1）如图（a）所示,在梯形ABCD中,AD∥BC.已知：AD?BC?3,AC?3,
BD?6,求梯形ABCD的面积．
（2）如图（b）,在梯形ABCD中,AD∥BC．M是CD的中点,MN?AB于N．设AB?a,MN?h,求梯形ABCD的面积．
解析（1）将BD平移到CE,连结DE,则CE?BD?6,DE?BC．所以
BCANMDEA(a)DEB(b)FC
AE?AD?DE?AD?BC?3．
AE2?AC2?CE2．
因此?ACE?90?． 因为S△ABC?S△CDE,
所以S梯形ABCD?S△ACE?AC?CE?1232． 2（2）将AB平移至EF,如图（b）所示,EF过点M．由于△MDF≌△MCF,所以
S梯形ABCD?S梯形ABFE?AB?MN?ah．
评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．
16．1．14★★如图,在四边形ABCD中,AD?BC,E、F分别是DC及AB中点,FE的
延长线与AD及BC的延长线分别交于点H、G．求证：?AHF??BGF．
GHDBAFECB'(a)
解析1如图（a）,将线段CB平移至AB?．则四边形AB?BC为平行四边形．由于F是AB中 点,故C、F、B?共线．
现在EF是△CDB?的中位线,故EF∥DB?,所以
?AHF??ADB?,?BGF??AB?D．
又显然AB??BC?AD．故?ADB???AB?D． 于是?AHF??BGF．
GHDMBAF(b)EC
解析2如图（b）,连结AC,取AC中点为M,连结ME、MF,则ME、MF分别为△CDA、
11△ABC的中位线,所以ME∥DA,MF∥BC．故
22?MEF??AHF, ?AFE??FGB,
且ME?MF,故?MEF??MFE, 所以?AHF??FGB．
16．1．15★★如图,?A??B,AA1、PP1均垂直于A1、 1、BB1B1,垂足为A1、PB1,AA1?17,PP1?16,BB1?20,A1B1?12．求AP?BP的值．
BACDA1P1PEB1
解析 将PP1,C在线段AA1上,延长BP交AA1于D,将DA1平移到EB1,E在BB1上． 1平移到CA因为AA1、BB1、PP1PP1和DA1B1E都是矩形． 1均垂直于A1B1,所以四边形CA由
CA1?PP1?16,
AA1?17,得
AC?1．又
AA1∥BB1,所以
?PDA??B??A,?PCD??PCA?90?,PC?PC．所以Rt△PCD≌Rt△PCA,PA?PD,CD?AC?1．
于是AP?BP?BD,
DA1?AA1?AD?15?EB1, BE?BB1?EB1?5．
在Rt△BED中,DE?A1B1?12,BD?BE2?DE2?13,也即
AP?BP?13．
16．1．16★★在正三角形ABC的三条边上,有三条相等的线段A1A2、B1B2、证明：直线B2C1、C1C2．
C2A1、A2B1所成的三角形中,三条线段B2C1、C2A1、A2B1与包含它们的边
成比例．
CB3B2AB1A2A3A1BC1C3C2
解析 如图,将C1C2平移到B2P,连结PA1、PB1、PC2．因为四边形BC1C2P为平行四边形,所以
?B1B2P??A?60?,B2P?C1C2?B1B2,故△B1B2P为正三角形,B1P∥A1A2．这样所得四边形A1A2B1P为平
行四边形,A1P∥A2B1．
因此,由B2C1、C2A1、A2B1这三条线段构成的三角形与△A1PC2全等,而△A1PC2≌△A3B3C3,从而命题得证．
16．1．17★★如图所示,AA??BB??CC??2且共点于O,?AOB???BOC???COA??60?,
求证：S△AOB??S△BOC??S△COA??3．
QAC'RBA'OCB'P
解析 将△A?OC沿A?A方向平移A?A长的距离,得△AQR,将△BOC?沿BB?方向平移BB?长的距离,得△B?PR?．由于
OP?OQ?2,?POQ?60?,
所以PQ?2．
又因QR?R?P?OC?OC??CC'?2,
故R与R?重合,且P、R、Q三点共线．在正三角形POQ中,
S△AOB??S△BOC??S△COA? ?S△AOB??S△B?PR?S△AQR
?S△OPQ?32?2?3． 416．1．18★★★如图,由平行四边形的顶点B引它的高BK和BH,已知KH?a,BD?b,求点B到
△BKH的垂心的距离．
BH1aAKDPCH
解析 令H1表示△BKH的垂心．
考虑到KH1?BH,DH?BH,有KH1∥DH．同理有HH1∥DK,因而四边形KDHH1,为平行四边形,平移△BKH1到△PDH位置,显然P为BC上一点,所求线段BH1即PH,已与KH位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB为矩形,有PK?BD,于是
BH1?PH?PK2?KH2?b2?a2．
16．1．19★★★已知△ABC的面积为S,D、E、F分别为BC、CA、AB上的点,且
BDCEAF1???,试求以AD、BE、CF为边的三角形的面积S?． DCEAFBnGCEDAFB
解析 如图,过点A作AG平行且等于FC．连CG、GD、GE,则四边形AFCG为平行四边形,?GCA??CAB． 又
CGAFAEAE1, ????ABABABCAn?1所以△CGE≌△ABC,?CEG??ACB,因此GE∥CB. 又因
GE1BD, =?BCn?1BC所以GE?BD．
于是四边形GEBD也为平行四边形,从而GD?BE,即△ADG为AD、BE、CF所构成的三角形,它的面积为S?． 在梯形GABC中,
S梯形GABCS?GC?ABGC1, ?1??1?ABABn?1??1?所以S梯形GABC???1??S, n?1而
S△ABDBD1, ??SBCn?1CG?CD1n, ??BA?BCn?1n?1所以S△ABC???1?1n?因此S????1???S ??2n?1n?1????n?1?????n2?n?1?n?1?2S．
§16.2旋转
16．2．1★★对于边长为1的正△ABC内任一点P．求证：3≤PA?PB?PC．
APCP'C'B
解析 把△ABC绕点B旋转60?到△CBC?．则△PBP?为正三角形,且
PC?P?C?,PB?PP?,
因而PA?PB?PC?PA?PP??P?C?≥AC??3．
16．2．2★★设P是等边三角形ABC内一点,PC?3,PA?4,PB?5．试求此等边三角形的边长．
B54AP'P3C
解析 如图,把△CBP绕点C逆时针旋转60?,到达△CAP?的位置,显然,
?PCP??60?,P?C?PP??3,AP??5．
在△APP?中,AP2?P?P2?32?42?52?AP?2,所以?APP??90?．故
?APC??APP???P?PC?90??60??150?.
在△APC中,由余弦定理,得
AC2?AP2?PC2?2AP?PC?cos150? ?32?42+2?4?3??25?123．
3 2所以,等边三角形ABC的边长是25?123．
16．2．3★★设O是正三角形ABC内一点,已知?AOB?115?,?BOC?125?,求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角．
BDOAC
解析 以B为旋转中心,将△AOB按逆时针方向旋转60?,旋转至△CDB,如图所示． 连结OD．由于OB?OD,?OBD?60?,所以△OBD是正三角形,故OD?OB． 又CD?OA,故△OCD是以OA、OB、OC为边构成的一个三角形． 因此?COD??BOC??BOD
?125??60??65?, ?ODC??BDC??BDO ??AOB??BDO ?115??60??55?,
从而?OCD?180??65??55??60?．
所以,以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角分别为65?、55?和60?．
16．2．4★★如图,两个正方形ABCD与AKLM（顶点按顺时针方向排列）,求证：这两个正方形的中心以及线段BM、DK的中点是某正方形的顶点．
CPABSMDQKRL
解析 设P、S分别是线段DK、R分别是正方形ABCD、AKLM的中心,Q、BM的中点,先证△PSR是以PR为斜边的等腰直角三角形．
连结BK、DM,将△ADM绕A逆时针旋转90?,则D、M分别到B、K位置,所以
BK?DM,BK?DM．
因为P、S分别是BD、BM的中点,所以PS∥DM．同理SR∥BK．所以PS?SR,且PS?SR．即
△PSR是以PR为斜边的等腰直角三角形．
1212同理可证△PQR也是以PR为斜边的等腰直角三角形．故P、Q、R、S是正方形的四个顶点．
16．2．5★★正方形ABCD内有一点P,PA?1,PB?3．PD?7,求正方形ABCD的面积．
P'APDBC
解析 将△PAB绕A点旋转90?,得△P?AD．连结PP?．易知?PAP??90?,PA?P?A?1． 于是PP??2．
在△P?PD中,P?P2?PD2?2?7?9?P?D2．所以△P?PD是直角三角形,从而?APD?135?． 由余弦定理得
AD2?PA2?PD2?2PA?PD ?8?14．
16．2．6★★在正方形ABCD的边AB和AD上分别取点M和K,使得AM?AK,在线段DM上取点P,使得?PCD??PKA．证明：?APM是直角．
AMPKDLCB
解析 如图所示,在边BC上取点L,使BL?AK,连结KL、AP、PL．
由于?PCD??PKA,所以P、C、D、K四点共圆,作四边形PCDK的外接圆和矩形
KDCL的外接圆,因为这两个外接圆均过K、D、C三点,从而这两圆是相同的,所以 ?LPD??LKD?90?．
易知Rt△MAD≌Rt△LBA.
故以正方形ABCD的中心为旋转中心,将Rt△LBA以逆对针方向旋转90?,则△LBA旋转至△MAD,从而AL?DM．又LP?DM,故A、P、L三点共线,所以?APM?90?． 16．2．7★★★已知凸六边形A1A2A3A4A5A6中,A1A2?A2A3,A3A4?A4A5,A5A6?A6A1,
?A1??A3??A5??A2??A4??A6．求证：
（1）S△AAA?SAAAAAA；
24612345612（2）?A6A2A4??A2,?A2A4A6??A4,
1?A2A6A4??A6．
2A'4A1A6A5A4A2A31212
?,如图所示．连结A4?A6． 解析 （1）将△A2A3A4绕点A2旋转,使A2A3与A2A1重合,得到△A2A1A4因为
(?A1??A3??A5)?(?A2??A4??A6)
?720?,
所以?A1??A3??A5
??A2??A4??A6?360?．
?A1A6?360???A1??A4?A1A2 因此?A4?360???A1??A3??A5.
从而△A1A4?A6≌△A5A4A6,
?A6, △A2A4A6≌△A2A4所以S△AAA?SAAAA??SAAAAAA．
24624641234561212（2）由（1）可知
?A6A2A4??A6A2A4???A1A2A6??A3A2A4
??A2??A6A2A4,
所以?A6A2A4??A2．
同理可证：?A2A4A6??A4,?A2A6A4??A6．
?A6.评注 本题通过旋转,把△A2A3A4、△A4A5A6、△A6A1A2拼成一个与△A2A4A6全等的新三角形A2A4121212也可以采取向△A2A4A6内部旋转的方法,把△A2A3A4、△A4A5A6、△A6A1A2放在△A2A4A6的内部,使
之恰好“拼成”△A2A4A6．
16．2．8★★★如图所示,P、Q是边长为1的正方形ABCD内两点,使得
?PAQ??PCQ?45?,求S△PAB?S△PCQ?S△QAD的值．
AQPC(a)PBQ''(b)CDAQDQ'B
解析 将△AQD绕点A顺时针旋转90?至△AQ?B,△CQD绕点C逆时针旋转90?至△CQ??B,连结
PQ?、PQ??,则
△APQ?≌△APQ,△CPQ??≌△CPQ．
又?ABQ???CBQ????ADQ??CDQ?90?,所以Q?、B、Q??三点共线,且
BQ??DQ?BQ??,
故S△PBQ??S△PBQ??, 所以S△PAB?S△PCQ?S△QAD
?S△PAQ?S△PBC?S△QCD
11?S正方形ABCD?． 2216．2．9★★在△ABC中,?A≥120?,点P不与A重合．求证PA?PB?PC?AB?AC. 解析 如图,将△PAB绕点A旋转至△P?AB?的位置,使CA与AB?共线．于是
AB?AC?AB??AC?PC?PB?．
B'AP'BPC
又因为?P?AB???PAC??BAP??PAC??BAC≥120?,所以
?PAP??180???BAC≤60?．
故在等腰△PAP?中,
PA?P?A≥PP?．
因此PB?≤PP??P?B?≤PA?P?B??PA?PB, 从而PA?PB?PC?AB?AC.
评注 此题似乎依赖于图形,P在?BAC内,事实上P在其他位置照样成立,方法完全一样． 16．2．10★★★凸四边形ABCD中,点M、N分别是BC、CD的中点,且AM?AN?a（a是常数）,求证：S四边形ABCDa2． ?2EDNCMFAB
解析 如图所示,将△ABM绕点M旋转180?得△FCM,将△ADN绕点N旋转180?得△ECN,连EF,于是
?ECF?360???ECN??BCD??FCM ?360???ADC??BCD??ABC ??DAB?180?,
所以EF与凸四边形ABCD的边不相交．故
S四边形ABCD?S四边形AMCN?S△FCM?S△ECN?S△AEF
1≤AE?AF?2AM?AN 2a2?AM?AN?≤2??． ??22??216．2．11★★★如图,设D为锐角△ABC内一点,且AC?BD?AD?BC,
?ADB??ACB?90?,求
AB?CD的值．
AC?BDADBCE
解析 将线段BD绕点B顺时针旋转90?到BE,连结DE、CE．
因为?ADB??CAD??CBD??ACB,?ADB??ACB?90?,所以
?CAD??CBD?90?,又?CBD??CBE?90?,
则?CAD??CBE． 由AC?BD?AD?BC,得
ACADAD,于是△ACD∽△BCE,所以?ACD??BCE, ??BCBDBEACADCD．从而?ACB??ACD??BCD??ECB??BCD??ECD．所以,△ABC∽△DEC,则??BCBEECABAC,即AB?CD?AC?DE． ?DEDC在Rt△BDE中,BD?BE,DE?2BD,故
AB?CD?2．
AC?BD
初中数学竞赛专题：几何变换
