第二章 2.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1.若x∈{x|-2 3 B.- 21D.- 2 x+2-x?2?2? [解析] 因为x∈{x|-2 2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( B ) a+b A.x= 2a+bC.x> 2 a+b B.x≤ 2a+b D.x≥ 2 1 3.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D ) x-1A.a≤2 C.a≥3 B.a≥2 D.a≤3 1 [解析] 由于x>1,所以x-1>0,>0, x-111 于是x+=x-1++1≥2+1=3, x-1x-1当 1 =x-1即x=2时等号成立, x-1 1 的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3,故选D. x-1 即x+ 14 4.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为( B ) xyA.6 C.12 B.9 D.15 14y4x [解析] x,y为正数,(x+y)(+)=1+4++≥9,当且仅当y=2x时等号成立.选B. xyxy5.若对所有正数x,y,不等式x+y≤ax2+y2都成立,则a的最小值是( A ) A.2 C.22 [解析] 因为x>0,y>0, 所以x+y=x2+y2+2xy ≤2x2+2y2=2·x2+y2, 当且仅当x=y时等号成立, B.2 D.8 所以使得x+y≤ax2+y2对所有正数x,y都成立的a的最小值是2.故选A. 12 6.若点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为( C ) mnA.2 C.8 B.4 D.16 [解析] 因为点A在直线mx+ny+1=0上, 所以-2m-n+1=0,即2m+n=1. 122m+n4m+2nn4mn4m因为m>0,n>0,所以+=+=2+++2≥4+2··=8,当且 mnmnmnmn11 仅当m=,n=时取等号.故选C. 42 二、填空题 7.已知x、y都是正数, (1)如果xy=15,则x+y的最小值是__215__; 225(2)如果x+y=15,则xy的最大值是____. 4[解析] (1)x+y≥2xy=215,即x+y的最小值是215;当且仅当x=y=15时取最小值. (2)xy≤? x+y?2?15?2225?2?=?2?=4, 225 即xy的最大值是. 4 15 当且仅当x=y=时xy取最大值. 2 91 8.已知正数a、b满足+=3,则ab的最小值为__4__. ab91 [解析] +=3≥2 ab 9?ab≥2?ab≥4. ab 912 当且仅当=,即a=6,b=时取等号. ab3 2y8x 9.已知x>0,y>0,若+>m+2恒成立,则实数m的取值范围是__m<6__. xy 2y8x2y8x [解析] 因为x>0,y>0,所以+≥8,当且仅当=时,“=”成立.所以m+2<8, xyxy解得m<6. 三、解答题 1221 10.若正数a、b满足:+=1,求+的最小值. aba-1b-2 1212b-21a12 [解析] 正数a、b满足+=1,则=1-=,则=,由正数a、b满足+= ababbabb-2b21a-12b21ba 1,则=1-=,则=,+=+≥2 baaa-1aa-1b-2ab21等号,故+的最小值为2. a-1b-2 11.某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品,根据过去的经验,每月A产品销售920x 数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y=2(x>0).在该月内,销 x+3x+1 600售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到0.1万件) 920 [解析] 依题意得y=(x∈N*). 1 600x+3+ x1 600 因为x+≥2 x 1 600x·=80, x ba·=2,当且仅当a=b=3时取ab 1 600 当且仅当x=,即x=40时上式等号成立, x所以ymax= 920 ≈11.1(万件). 83 所以当销售员为40人时,销售量最大,最大销售量约为11.1万件. B组·素养提升 一、选择题 1.已知m,n∈R,且m2+n2=100,则mn的最大值是( B ) A.100 C.20 [解析] 由 m2+n2≥2mn B.50 D.10 m2+n2 得mn≤=50,当且仅当m=n=±52时等号成立. 2 a2b2 2.已知0 x1-xA.(a+b)2 C.a+b B.(a-b)2 D.a-b a2b2?a2?1-x?b2xa2b2?22 [解析] y=+=x+1-x[x+(1-x)]=a+b++≥a2+b2+2ab=(a x1-x?x?1-x
新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业:2.2 第2课时 基本不等式的应用
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