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[数学教学中对书本例题的使用例谈] 书本上的例题和考试的题

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[数学教学中对书本例题的使用例谈] 书本上的

例题和考试的题

我国著名的教育家叶圣陶先生说过:“教材只能作为教课的依据,要教得好,使学生受益,还要靠教师的善于运用。”新课标对教材的使用提出了新的要求:要求“用教材教”而不是“教教材”;不是简单地学教材,而是把教材作为“引子”,作为“材料”;不是把教材奉为神圣不可侵犯的“圣经”,也不能“无教材论”,采取“舍本逐末”的做法,而是根据实际情况对其进行必要的取舍与加工,即要求“用好教材,超越教材”。以下是笔者在教学中对课本例题处理的一个案例。 书本例题:

已知椭圆C:+,直线L:4x-5y+40=0。椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最小距离是多少?

此题是人教出版社A版高中数学选修2-1教材第47页例7,本节是直线与椭圆的第一节课,主要内容是如何判断直线与椭圆的位置关系、弦长问题等。但是如果课上按部就班地只讲以上例题显然不能达到教学的目标,还需要再补充别的习题。为此我是这样运用这个例题的。

一、复习中走进例题 我上课时先给出以下问题:

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已知直线L:4x-5y+m=0,椭圆C:+=1的焦点F1,F2在x轴上,椭圆C上存在一点p,使∠F1PF2=60°,S=

3、求椭圆C的方程。

解:△F1PF2中,设∠F1PF2=?琢,|PF1|=m,|PF2|=n, 在△F1PF2中,由余弦定理可知,2=m2+n2-2mncos?琢=2-2mn-2mncos?琢,∴mn=、S=mnsin?琢=××sin?琢

==b2tanQ∠F1PF2=60°,?琢=60°,∴b2×=3,∴b2=9

∴椭圆C:+= 1、

这个问题的解决得益于椭圆的定义,PF1+PF2=2?琢,再结合余弦定理使问题解决。最后总结出了焦点三角形的面积公式:S=b2tan、可以发现当焦点三角形顶角已知时,其面积只与b有关,而和a无关。当学生正在为得出这样一个结论而开心的时候我又给出了第2个问题。

二、拓展追问中完成教学任务

试讨论直线l:4x-5y+m=0与椭圆C交点的个数。 问题给出后我叫学生自己独立进行思考,我在下面看学生是如何解题的。我发现有部分学生是受判断直线与圆交点个数的影响,想用圆心到直线的距离与半径进行比较大小的方法来做。但是在求出了原点到直线l:4x-5y+m=0的距离后不知道与哪个量进行比大小了。之后我进行讲解,讲解了椭圆与圆的不同之处,本

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题要判断直线l与椭圆C交点的个数,需要借助方程组解的情况。

解:4x-5y+m=0+=1联立得:25x2+8mx+m2-225=0、 △=22500-36m 2、

当m=±25时,△=0,此时直线l与椭圆C相切; 当-2525时,△

通过第题发现许多学生的解题计算能力不强,出现了许多错误,同时提醒同学不要使用计算器。问题解决以后我问,如m=20时直线l与椭圆C的位置关系是什么?学生回答是相交的。好的,我总结道,此时是相交于两点,那么就有如下问题。

当m=20时,求直线l被椭圆C所截弦长。

学生进行独立思考之后我发现仍有部分同学试图用垂径定理来做,在受阻后改用求交点坐标或者利用弦长公式来求。

解:4x-5y+m=0+=1联立得:25x2+160x+175=0,△=8 100、

所求弦长为|x2-x1|=×=、

我对这种设而不求的解题方法进行了总结后,又给出了下面的问题:

直线l被椭圆C所截弦长为,求直线l的方程。 解:4x-5y+m=0+=1联立得:25x2+8mx+m2-225=0、 △=22500-36m

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2、

所求弦长为|x2-x1|=×=、 解得m=± 20、

问题解决后我试问学生为什么会有两个解?从几何图像上进一步给出解释。如果解出的m不是±20,而是m=-20和m=40,那么该怎么办?让学生学会检验,知道m=40时,此时直线l与椭圆C相离了,所以m=40要舍去。接着我继续给出了第5题。

三、回归课本、超越课本

当m=40时,求椭圆C上的点到直线l距离的最值。 解:4x-5y+m=0+=1联立得:25x2+8mx+m2-225=0、

△=22500-36m2 、 当m=±25时,△=0、此时直线l与椭圆C相切;

椭圆的两条切线方程为4x-5y+25=0和4x-5y-25=0、 因此椭圆C上的点到直线l距离的最小值为 dmin==,

椭圆C上的点到直线l距离的最大值为 dmax==、

第小题不仅仅解决了书本例题中求椭圆C上的点到直线l距离的最小值,还进一步求出了距离的最大值。体现了回归课本而超越课本的思想。

现把这5题问题汇总一下,就是如下一个题目:

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已知直线L:4x-5y+m=0,椭圆C:+=1的焦点F1,F2在x轴上,椭圆C上存在一点P,使∠F1PF2=60°,S=

3、

求椭圆C的方程;

试讨论直线l与椭圆C交点的个数; 当m=20时,求直线l被椭圆C所截弦长; 直线l被椭圆C所截弦长为,求直线l的方程; 当m=40时,求椭圆C上的点到直线距离的最值。 把例题进行以上改编,就是借助教材中例题已经提供的素材与背景,采用拓展追问的方式,引发学生深层次的思维活动,实现“纵向到底”的功效。这种方法的好处是能够培养学生的数学探究能力,发展学生的思维深刻性,运用这种方法的关键是师生都要有强烈的问题意识,勇敢地猜想,大胆地提问,小心地求证。进行改编时,要保证所编题目的可操作性,比如以上题目第小题要保证计算数字不要太繁琐,第小题中,如果是令

∠F1PF2=120°,S=9,若运用焦点三角形面积公式,仍然可以得到b2=9,但是这样p点其实是不存在的,因为椭圆+=1的焦点三角形的最大面积才是12,而12

“用教材教,而不是教教材”真正的意图是要求教师能够更加灵活地、更富有创造性地使用教材,这就要求教师首先要认真钻研教材,理解教材编写者的意图,吃透教材的精神与实质,把握好教学的重难点,做到“以生为本”“用教材教”。其次要能

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[数学教学中对书本例题的使用例谈] 书本上的例题和考试的题

[数学教学中对书本例题的使用例谈]书本上的例题和考试的题我国著名的教育家叶圣陶先生说过:“教材只能作为教课的依据,要教得好,使学生受益,还要靠教师的善于运用。”新课标对教材的使用提出了新的要求:要求“用教材教”而不是“教教材”;不是简单地学教材,而是把教材作为“引子”,作为“材料”;不是把教材奉为神圣不可侵犯的“圣经”,也不能“
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