2024高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知复数z=A．第一象限
2??(1???)
3，则??在复平面内对应点所在象限为（
） D．第四象限
B．第二象限
2??(1???)
3C．第三象限
2【解答】解：∵z=?2?2i； ∴??=?+i；
1
2121
1
=
2??
(1???)×(1???)
=?(1???)×2??=?1???=?(1???)×(1+??)=
2??11+??
??在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故选：B．
2．（5分）已知集合??={??|??=????(??2?3???4)}，??={??|???1≥0}全集U＝R，则（?RA）∩B（ ） A．[1，2]
B．[﹣1，2）∪（3，4] D．[﹣1，1）∪[2，4]
【解答】解：∵A＝{x|x＞4，或x＜﹣1}， ∴?RA＝{x|﹣1≤x≤4}， ∵B＝{x|x≥2，或x＜1}，
∴（?RA）∩B＝[﹣1，1）∪[2，4]． 故选：D．
??≥03．（5分）若x，y满足约束条件{??+2??≥3，则z＝x﹣y的最大值为M，最小值为m，则
2??+??≤3M﹣m＝（ ） A．0
B．
23
???2
C．[﹣1，3）
C．﹣3 D．3
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【解答】解：由题意作平面区域如下，z＝x﹣y可化为y＝x﹣z，
??+2??=3??=1
结合图象可知，{?{
2??+??=3??=1
过点B（1，1）时，截距最小，z有最大值M＝1﹣1＝0， 过点C（0，3）时，截距最大，z有最小值m＝0﹣3＝﹣3， 故M﹣m＝3， 故选：D．
4．（5分）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥b
B．若a，b在平面α内，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α
C．若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交 D．若α，β分别经过两异面直线a，b，且α∩β＝c，则c必与a或b相交
【解答】解：对于选项A：若a∥α，α∩β＝b，则直线a也可能与直线b异面，故错误． 对于选项B，只有直线a和b为相交直线时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α．故错误 对于选项C：若a，b，c是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a，b，c都相交．故错误
对于选项D：若α，β分别经过两异面直线a，b，且α∩β＝c，则c必与a或b相交，正确． 故选：D．
5．（5分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数﹣样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的
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筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万…用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，例如6613用算筹表示就是
，则8335可用算筹表示为（ ）
A．C．
B．D．
【解答】解：∵个位、百位、万…用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示， ∴8335用算筹表示的话，千位上的8是横式，百位上的3是纵式，十位上的3是横式，个位上的5时纵式， 故选：B．
6．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则
1??
+的最小值为（ ）
??5
9
A．
14
B．
114
C． 3
8
D．
103
【解答】解：Sn＝2an﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2， n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，又Sn＝2an﹣2，
相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1， {an}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以an＝2n．
aman＝64，即2m?2n＝64， 得m+n＝6， 所以
1??
+
9??????
=（m+n）（
6
11
??
+）=（10+
??
3
9
1
6??9??18+）≥（10+2√9）=， ????639
当且仅当=
9????
时取等号，即为m=2，n=2．
1??
因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则验证可得，当m＝2，n＝4时，
+
9??
＞，
3
8
1
??
+取得最小值为
??
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9114
．
故选：B．
7．（5分）设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1、CC1上，且PA＝QC1，则三棱锥B1﹣BPQ的体积为（ ）
A．??
61
B．??
4
1
C．??
3
1
D．??
2
1
【解答】解：设A到BC的距离为h，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1、CC1上，且PA＝QC1， ∴V=
1
×????×?×????1， 2三棱锥B1﹣BPQ的体积为： V
??1???????
=?????????1??=3×?×2????×????1=3??．
111
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝cosx?|sinx|，给出下列四个说法： ①??(
√32015??
)=?， 64②函数f（x）的一个周期为2π； ③f（x）在区间[4，4]上单调递减； ④f（x）的图象关于点（π，0）中心对称． 其中正确说法的序号是（ ） A．①②
B．③④
??
??
??
3??
C．②④
??
??
D．②③
√3【解答】解：f（336???6）＝f（?6）＝cos（?6）?|sin（?6）|=4，①错，A错， f（π）＝cosπ?|sinπ|＝0，所以f（x）的图象关于点（π，0）中心对称，④对，D错， f（2π+x）＝cos（2π+x）?|sin（2π+x）|＝cosx?|sinx|＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为2π，②对， 故选：C．
9．（5分）已知??∈(0，4)，??∈(0，2)，??????(4+??)=3，??????(??+2)=9，则??????(4?
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3??????√3??5√3??
??
)=（ ） 2A．
4√29
B．?9
3????2??
4√2C．
2√2 3
D．?3 2√2【解答】解：∵??∈(0，4)，??∈(0，2)， ∴+??∈(，??)，??+∈（0，π）．
4
4
??
??
∵??????(4+??)=3＜2， ∴+??∈(
4
??
2??
3??
??√3√2，??)，则cos（+??）=?3， 44
√65√3??
，∴sin（??+）=． 929??
√6∵??????(??+)=
??
4??2则??????(?)=cos[（+??）﹣（??+）]
4
??
??2＝cos（+??）cos（??+2）+sin（+??）sin（??+2）
4
4
??
??
??
??
=?3×9+9×3=?9． 故选：B．
10．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足????=????+λ（
|????|?????????????
→
→
→
√65√3√6√34√2|????|?????????????
→
+
），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ）
B．外心
|????|
→
A．内心 C．重心
=
|????|????????
→
D．垂心
【解答】解：由正弦定理可知：所以动点P满足????=????+λ（
→
→
????????
=2??，R为三角形的外接圆的半径，
→
|????|?????????????
→
+
|????|?????????????
）=????+λR（????+????）．因为????+????
→→→→→
是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故选：C．
??2??211．（5分）如图，FI，F2是双曲线??：2?=1(??＞0)的左、右焦点，点P是双曲线上
3??
位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（ ）
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