河南省新乡市新乡一中2020届高三数学上学期第一次质量预测试题
文
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x｜－1＜x＜3}，则A∩B
A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 2．复数z＝
1＋i在复平面内对应的点位于 i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1213．设a＝2，b＝()3，c＝log2，则
42 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l ?α，m?β，则 A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥β C．若m⊥α，则α⊥β D．若α⊥β，则l⊥m 5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为
了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的 正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰 有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．
13161832 B． C．10 D． 555?x＋y≥0，? 6．若变量x，y满足约束条件?x－y≥0，则y－2x的最小值是
?3x＋y－4≤0.? A．－1 B．－6 C．－10 D．－15
7．已知函数y＝f（x）的图像由函数g（x）＝cosx的图像经如下变换得到：先将g（x）的
图像向右平移
?个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变， 6则函数y＝f（x）的对称轴方程为
k??k??＋，k∈Z B．x＝＋，k∈Z 21226?? C．x＝kπ＋，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈Z
126 A．x＝
8．直线3x＋4y＋m＝0与圆x＋y－2x＋4y＋1＝0相切，则m＝
2
2
A．－5或15 B．5或－15 C．－21或1 D．－1或21
x2y239．已知椭圆：2＋2＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，
ab5则椭圆方程为
x2y2x2y2x2y2x2y21 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 A．＋＝54259169251610．已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在球面上，PB⊥平面ABC．PB＝23，△ABC
为直角三角形，AB⊥BC，且AB＝1，BC＝2．则球的表面积为 A．5π B．10π C．17π D．11．关于函数f（x）＝sin｜x｜－｜cosx｜有下述四个结论：
1717π 6?，π）单调递减 2?? ③f（x）最大值为2 ④当x∈（－，）时，f（x）＜0恒成立
44 ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（
其中正确结论的编号是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
(x2－3)222x－212．已知关于x的方程为＝3＋（x－3），则其实根的个数为 exee A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知a＞0，b＞0，2a＋b＝4，则
3的最小值为_________． abS62a63＝，则＝________． 3S38a5＋a414．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且
x2y215．已知双曲线C：2－2＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为8，右焦点为F，M是双曲线C的
ab一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S?OMF＝6，则双曲线C的离心率为_______.
16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosA＝a（2－cosC）， c＝2，D为AC上一点，AD ：DC＝1 ：3，则△ABC面积最大时，BD＝__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）
已知等差数列{an}为递增数列，且满足a1＝2，a3＋a4＝a5． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn＝
2221（n∈N*），Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．
(an＋1)(an－1＋1) 18．（12分）
如图（1）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°、AB＝4，点D为AB中点，将
△ADC沿DC折叠得到三棱锥A1—BCD，如图（2），其中∠A1DB＝60°，点M，N，G分别为A1C，BC，A1B的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面DCG；
（Ⅱ）求三棱锥G—A1DC的体积．
19．（12分）
2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后
由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类．为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学
生人数；
（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”
活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少?
20．（12分）
2
设曲线C：x＝2py （p＞0）上一点M（m，2）到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C方程；
（Ⅱ）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点
O，试问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．
21．（12分） 已知函数f（x）＝ax－x－ln
2
1． x （Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f（x）在点（1，
f（1））的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）＋f（x2）＜2ln2－3．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做．则按所做的第一题记分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
?x＝acos?，3? 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为?
2??y＝3sin?，（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线E的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：
值．
23．[选修4—5不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）＝｜x－1｜－｜2x＋1｜＋m． （Ⅰ）求不等式f（x）≥m的解集；
（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，求m的取值范围．
1OA2＋
1OB2为定值，并求出这个定
（文科） 参考答案
一、选择题：1---12 BDACB BAADC DB 二、填空题：
635113.14.15.16.2 243三、解答题：
17.解：(1)由题意知(2?2d)?(2?3d)?(2?4d)...2分
222?3d2?4d?4?0
2
?d?2或d??3{an}为递增数列?d?2...4分
故数列{an}的通项公式为an?2n....6分
(2)bn?1111?(?)...8分
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11111111?Sn?[(1?)?(?)?(?)?...?(?)]...10分
2335572n?12n?1
11?(1?)22n?1n?2n?1...12分
18.解：（1）由题知图（1）中AC?BC?22,AD?BD?CD?2 ...1分
?BC ?在三棱锥A1?BCD中，A1D?BD,AC1点G是A1B的中点?DG?A1B,CG?A1B 又DG?CG=G?A1B?平面DGC ...4分
又点M、N分别是AC1、BC的中点?MN//A1B...5分
?MN?平面DGC ...6分
（2）由图（1）知CD?A1D,CD?BD，且A1D?BD=D,?CD?平面A1DG...8分 又?A1DB?600??A1DB为等边三角形
河南省新乡市新乡一中2020届高三数学上学期第一次质量预测试题文
