专题18 解直角三角形问题
专题知识回顾
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一、勾股定理 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a＋b=c。 2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a＋b=c。，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性质： (1)直角三角形的两锐角互余；
(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； (3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半； (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 6.直角三角形的判定：
(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形 (2) 两锐角互余的三角形是直角三角形
(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形 (4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 二、锐角三角函数 1.各种锐角三角函数的定义
∠A的对边（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝
斜边∠A的邻边
（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝
斜边∠A的对边
（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝ ∠A的邻边2. 特殊值的三角函数： α 0° sinα 0 cosα 1 tanα 0 cotα 不存在 2
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30° 1 22 23 21 3 22 21 20 3 31 3 1 45° 60° 3 3 30 90° 不存在 三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。
铅垂线仰角俯角视线水平线h
i?h:llα视线
3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i?水平面的夹角记作?(叫做坡角)，那么i?四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 sinA?cosA?1 （3）倒数关系 tanA?tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=
22h。把坡面与lh?tan?。 lsinA cosA
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019?湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
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【例题2】（2019?湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30
nmile B．60nmile D．（30+30
）nmile
C．120nmile
【例题3】（2019?江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）
专题典型训练题
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一、选择题
1．（2019?渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ） A．1，
，2
B．1，3，4
C．2，3，6
D．4，5，6
2．（2019?巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（ ） A．，， C．
B．3，4，5 D．0.3，0.4，0.5
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3.（2019广西省贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为?ABC（图中阴影部分），若?ACB?45?，则重叠部分的面积为( )
A．22cm2 B．23cm2 C．4cm2 D．42cm2
4.（2019贵州省毕节市） 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3
C．5 D．5
5．（2019?南岸区）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED＝3，则AC的长为（ ）
A．3
B．3
C．6
D．9
6．（2019?西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径
4
OB等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．2
7.（2019?江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o，则教学楼的高度是（ ） A．55.5m
AB．54m C．19.5m D．18m
DC30°B
8.（2019?湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+
BD的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．10
二、填空题
9.（2019·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
10. （2019贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的
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[优选]2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题18 解直角三角形问题（学生版）
