15．【2015年浙江理科07】存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ） A．f（sin2x）＝sinx C．f（x2+1）＝|x+1|
B．f（sin2x）＝x2+x D．f（x2+2x）＝|x+1|
【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0； 取x=2，则sin2x＝0，∴f（0）＝1； ∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx； B．取x＝0，则f（0）＝0； 取x＝π，则f（0）＝π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；
C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0； 这样f（2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；
D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|； 令t2﹣1＝x，则t＝±√??+1； ∴??(??)=√??+1；
即存在函数f（x）=√??+1，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D．
16．【2015年北京理科07】如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（ ）
??
A．{x|﹣1＜x≤0}
B．{x|﹣1≤x≤1}
C．{x|﹣1＜x≤1}
D．{x|﹣1＜x≤2}
【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}； 故选：C．
17．【2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；
对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误． 故选：C．
18．【2015年天津理科07】已知定义在R上的函数（fx）＝2|x
﹣m|
﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝（flog0.53），
b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【解答】解：∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）＝f（x）； ∴2|
﹣x﹣m|
﹣1＝2|x
﹣m|
﹣1；
∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|； （﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2； ∴mx＝0； ∴m＝0；
∴f（x）＝2|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f（0）； ∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C．
2?|??|，??≤219．【2015年天津理科08】已知函数f（x）={，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若
2
(???2)，??＞2函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．（，+∞）
47
B．（﹣∞，）
4
7
C．（0，）
4
7
D．（，2）
4
7
【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），
∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b， 设h（x）＝f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2， 则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2， 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．
??2+??+2，即h（x）={2，??≤00＜??≤2，
??2?5??+8，??＞2
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x+）2+≥， 当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x?2）2+4≥4， 故当b=时，h（x）＝b，有两个交点， 当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，
由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）＝b恰有4个根， 则满足＜b＜2，
477
45
7
7
127474故选：D．
20．【2014年上海理科18】设f（x）={（ ） A．[﹣1，2]
B．[﹣1，0]
(?????)2，??≤0
，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为1
??+??+??，??＞0
C．[1，2] D．[0，2]
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值， 当a≥0时，f（0）＝a2， 由题意得：a2≤x+??+a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2， 故选：D．
???2+2??，??≤0
21．【2013年新课标1理科11】已知函数f（x）={，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是
????(??+1)，??＞0（ ） A．（﹣∞，0]
B．（﹣∞，1]
C．[﹣2，1]
D．[﹣2，0]
1
【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，
由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，
求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D．
22．【2013年天津理科08】已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，
2020年高考数学压轴题函数与导数专项(解析版)
