2020年高考数学压轴必刷题
专题01函数概念与基本初等函数(理科数学)
??2?2????+2??，??≤1，1．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）={若关于x的不等式f（x）≥
???????????，??＞1．0在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） A．[0，1]
B．[0，2]
C．[0，e]
D．[1，e]
【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；
当x＜1时，f（x）＝x2
﹣2ax+2a≥0?2a≥??2
???1恒成立，
??2??2(1????1)2(1???)2
令g（x）=?2(1???)+11
???1=?1???=?1???=?1???=?（1﹣x+1????2）（2√(1???)?
11????2）＝0， ∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．
当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0?a≤??
??????恒成立，
1
令h（x）=??
??????，则h′（x）=??????????(??????)2??=???????1(??????)
2， 当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增， 当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减， ∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e， ∴a≤h（x）
??????
=e，
综上a的取值范围是[0，e]． 故选：C．
2．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ A．f（log1
3）＞f（2
?
3
42）＞f（2
?
23）
B．f（log1
3）＞f?
2
4
（2
3）＞f（2
?
32）
C．f（2?
3
2）＞f（2?
23）＞f（log134
）
D．f（2
?2
3）＞f（2
?
32）＞f（log134
）
≤﹣） 【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数 ∴??(??????3)=??(??????34)，
∵log34＞log33＝1，＜0＜2?2＜2?3＜20=1， ∴0＜2?2＜23＜??????34
f（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴??(2
?
1432
3
?
2
2312)＞??(2?3)＞??(??????3)，
4故选：C．
3．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥?9，则m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，]
49
8
B．（﹣∞，]
3
7
C．（﹣∞，]
2
5
D．（﹣∞，]
3
8
【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[?4，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[?2，0]； ∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]， 当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=?9解得m=3或m=3， 若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥?9，则m≤3．
8
7
8
7
8
1
1
故选：B．
??，??＜0，4．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）={1若函数y＝f（x）﹣ax﹣b132
???2(??+1)??+????，??≥0．3恰有3个零点，则（ ） A．a＜﹣1，b＜0
B．a＜﹣1，b＞0
C．a＞﹣1，b＜0
D．a＞﹣1，b＞0
??
【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=1???；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=x3?（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=x3?（a+1）x2﹣b， y′＝x2﹣（a+1）x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；
当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如右图： ∴
??1???
1
3121312＜0且{1
???＞0
， 132
(??+1)?(??+1)(??+1)???＜0321
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞?6（a+1）3． 故选：C．
2020年高考数学压轴题函数与导数专项(解析版)
