基本不等式在求最值中的应用

基本不等式在求最值中的应用

函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具。本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会。 在《不等式》一章教学中，课本对基本不等式 “a≥g”的证明，只要求对n=2，3的情况进行证明，当学生运用公式达到一定熟悉程度时，便对数学成绩好的学生（对成绩中等以下则要求不要去研究，以免加重负担）提出怎样证明公式一般情形，介绍有关学生阅读华罗庚的《数学归纳法》或其他教学参考书，数学成绩好的学生兴趣很浓，翻阅有关书籍学习，并对常见两种证法提出不同问题进行热烈讨论。最后，教师在数学讲座中给以讲解，并对教学归纳法证明中的一些技巧或“变招”进行介绍，加深了数学爱好者对数学归纳法的深入理解。其中有一个学生在一本课外书上看到关于这个公式证明的简单介绍：可用“如果a2，…a

n ∈r

+），则a

1 +a

1a

2 …=a=1（a2 +a

1，a

n ≥n”（实际上

是公式a≥g的特例）。证明公式“a≥g”，而前者则可用数学归纳法证明。当他学习研究有困难，教师加以指导。通过这样做，使学生带着问题，围绕当前学的基础知识去自学研究，使知识面扩宽，有利于培养学生的创造性思维。

一、利用基本不等式解题可以使问题简单化

利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主

要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号成立的条件能够满足。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。 利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

二、基本不等式求最值的应用 例1 已知a>1，01，00。 这就符合基本不等式的要求了。 例2 已知x>1，求x+4x-1+1的最小值。 配凑法：把x化为(x-1)+1即可。

例3 已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=1ab的最小值。

解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径：一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径

进行。

解法一：a=30-2bb+1， 则ab=-2b×b+30bb+1 。

由a>0得，00,b>0)最值的讨论，要视具体情况而定。 如能满足利用基本不等式的三个条件(或通过变形创造条件)，则利用基本不等式；不能满足，则可考虑利用函数的单调性来求。（作者单位：河南省登封市君召初中）