1.1.2 余弦定理
【基础练习】
1．在△ABC中，a等于( ) A．a＋b－2abcos C C．a＋c－2accos B 【答案】D
【解析】利用余弦定理的定义判断即可．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b＋c＝a＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于( )
A．23 C．43 【答案】A
B．4 D．8
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B．b＋c－2bcsin C D．b＋c－2bccos A
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b2＋c2－a2bc1
【解析】∵b＋c＝a＋bc，可得b＋c－a＝bc，∴cos A＝＝＝.∵A∈(0，
2bc2bc2
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π113
π)，∴A＝，∴S△ABC＝bcsin A＝×8×＝23.故选A．
3222
3．(2019年山西太原期末)如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，23
sin∠ABC＝，则CD的长度等于( )
5
A．4 C．42 【答案】A
π23??22
【解析】由题知sin∠ABC＝＝sin?＋∠CBD?＝cos∠CBD，由余弦定理得CD＝BC5?2?232
＋BD－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×33×5×＝16.∴CD＝4.
5
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a＋c＋ac－b＝________. 【答案】0
【解析】∵b＝a＋c－2accos B＝a＋c－2ac·cos 120°＝a＋c＋ac，∴a＋c＋ac－b＝0.
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B．5 D．52
5．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．
【答案】57
【解析】∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b，c.又b＋c＝9，bc＝8，∴BC＝b＋c－2bccos A＝(b＋c)－2bc－2bccos A＝9－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC＝57.
6．在△ABC中，S△ABC＝153，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．
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BB3B【解析】∵A＋C＝，∴＝180°，B＝120°.
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由S△ABC＝acsin B＝ac＝153，得ac＝60，
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由余弦定理b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－2ac(1＋cos 120°)＝(30－b)－60，得b＝14，∴a＋c＝16.
∴a，c是方程x－16x＋60＝0的两个根．
??a＝10，
∴?
?c＝6?
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??a＝6，
或?
?c＝10.?
∴该三角形各边长为a＝6，b＝14，c＝10或a＝10，b＝14，c＝6. 7．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝5. (1)若∠A＝60°，求cos B的值；
7
(2)若cos (A－B)＝，点D在边BC上，满足DB＝DA，求CD的长度．
8
ACBC45
【解析】(1)由正弦定理知＝，即＝，
sin Bsin Asin Bsin 60°
23
解得sin B＝.
5
∵AC (2)∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠B． 7 ∴cos ∠CAD＝cos (A－B)＝. 8在△CAD中，设AD＝x，则CD＝5－x. 7222 由余弦定理得(5－x)＝4＋x－2×4×x×， 8解得x＝3，则AD＝3，CD＝2. 8．在△ABC中，A＝30°，BC＝25，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD＝2，△BCD的面积为4. (1)求cos∠BCD的值； (2)求边AC的长． 【解析】(1)∵BC＝25，CD＝2， 1 则S△BCD＝BC·CD·sin ∠BCD＝4， 225 ∴sin ∠BCD＝. 5∴cos ∠BCD＝ 5. 5 5， 5 (2)在△BCD中，CD＝2，BC＝25，cos ∠BCD＝ 2 2 2 由余弦定理得DB＝CD＋BC－2CD·BC·cos ∠BCD＝16，即DB＝4. ∵DB＋CD＝BC，∴∠BDC＝90°， 即△ACD为直角三角形， ∵A＝30°，∴AC＝2CD＝4. 【能力提升】 9．在△ABC中，B＝60°，b＝ac，则此三角形一定是( ) A．直角三角形 C．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理，得b＝a＋c－ac，又b＝ac，∴a＋c－2ac＝0，即(a－c)＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形． 10．在△ABC中，有下列关系式： ①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B； ③a＋b－c＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C． 一定成立的有( ) A．1个 C．3个 【答案】C 【解析】对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin B．2个 D．4个 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．等边三角形 D．钝角三角形 A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不 一定相等，所以④不一定成立．故选C． 11．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________． 【答案】1 x2＋1－1 【解析】如图，AB＝1，BD＝1，BC＝3，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos ∠ADB＝ 2xx2＋1－3x2－2 ＝，在△BDC中，cos ∠BDC＝＝，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos ∠ADB＝－cos 22x2xxx2－23∠BDC，∴＝－，∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1. 22xsin 60° x 12．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin A＝3 acos C． (1)求角C； (2)若c＝21且sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，求△ABC的面积． 【解析】(1)∵csin A＝3acos C，由正弦定理可得sin Csin A＝3sin Acos C，sin A≠0， sin C∴sin C＝3cos C，得tan C＝＝3. cos Cπ ∵C∈(0，π)，∴C＝. 3 (2)∵sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)， ∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A， ∴2sin Bcos A＝2×5sin Acos A． ∵△ABC为斜三角形， ∴cos A≠0，∴sin B＝5sin A． 由正弦定理可知b＝5a，① 由余弦定理c＝a＋b－2abcos C， 122 得21＝a＋b－2ab×，② 2联立①②，得a＝1，b＝5. 11353 ∴S△ABC＝absin C＝×1×5×＝. 2224 2 2 2
2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理限时规范训练新人教A版必修5
