第5节 二次函数与幂函数
复 习 案
1．幂函数
(1)幂函数:一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象
排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.[来源学科网] 图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点． [来源:学科网ZXXK][来源:Z.xx.k.Com][来源:学科网ZXXK][来源:学_科_网]三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； 1(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y?x2的图象； (3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大. (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数
二次函数解析式的3种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 关于二次函数的几个常用结论
(1)关于函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)，x??p,q?的最值问题
若h??p,q?，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h??p,q?，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值．
(2)根的分布问题
设函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若对区间?a,b?有f(a)≥0，f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在?a,b?上)．
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根，根的分布对照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，知其等价不等式组的关系是： ?Δ>0?①若x1
＜x2
＜m，则?，?
f?m?>0，
②若m＜x1
＜x2
，则?Δ>0，???
f?m?>0，
－b2a＜m；
??－b2a>m；
Δ>0，
1③若x＜x??Δ>0，
1＜m2，则?? ④若x?f?m?＜0；
?1，x2∈(m?1，m2)，则
?f?m?>0，f?m2?>0，??m1
＜－b2a＜m2
；
⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，
则??
?Δ>0，??f?m1?f?m2
?＜0.
探 究 案
探究一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3
是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，
则m的值为( )
A．－1 B．2 C．－1或2
D．3
(2)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
1(3)已知f?x??x2，若0 A．f(a) B．f??1?? C．f(a) ?1??a?? 【跟踪训练1】(1)比较下列各组值的大小： 1①?8?3________?(11)39；②0.20.5________0.40.3. 1(2)函数y＝x3 的图象(图中虚线为直线y＝x)是( ) (3)已知函数f(x)＝xm2?2m?3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满 足(a?1)?m3<(3?2a)?m3的a的范围． 探究二 二次函数的解析式 【例2】 (1)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为___________. (2)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则f(x)的单调递增区间为___________. 【跟踪训练2】已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式． 探究三 二次函数的图象和性质 【例3】 (1)已知二次函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． (2)已知a是实数，记函数f(x)＝x2－2x＋2在[a，a＋1]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式． 【跟踪训练3】若函数y＝x2 －2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围___________. 【例4】 (1)若函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为___________. (2)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为????254,?4???则m的取值范围是________________. 【跟踪训练4】 1.已知函数y＝mx2＋?m－3?x＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 2. 设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜0的解集为R，则实数m的取值范围是________． 3.已知二次函数f?x???k2?1?x2?2x?3 (1)若函数f?x?的单调递增区间是(－∞，2]，则k＝________； (2)若函数f?x?在区间(－∞，2]上单调递增，则k的取值范围是________. 4. 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． 探究四 二次函数中的恒成立及零点问题 【例5】(1)已知函数f?x??x2?mx?1，若对于任意x??m,m?1?,都有f?x??0成立则 实数m的取值范围是________． (2)若方程x2??k?2?x?2k?1?0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间， 则实数k的取值范围是________． 【跟踪训练5】设函数f?x??ax2?2x?2，对于满足1?x?4的一切x值．都有f?x??0，求实数a的取值范围.
第二章第5节二次函数与幂函数-湖北省通山县第一中学高三数学一轮
