2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案(含解析)
2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案(含解析)
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1.(2020·湖北宜昌模拟)已知函数f(x)=(m+)ln x+-x,其中常数m>0.
mx(1)当m=2时,求f(x)的极大值; (2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性.
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[解析] (1)当m=2时,f(x)=ln x+-x,教育精品 2x
f′(x)=--1=-
5
2x1x2
x-2
2x2
2x-1
(x>0)教育精品 11
当0
∴f(x)在(0,)和(2,+∞)上单调递减,在(,2)上单调递增,教育精品 2253∴f(x)的极大值为f(2)=ln 2-.
22
11
m+x-mx-
m1m
(2)f′(x)=--1=-(x>0,m>0),教育精品 xx2x2故当0 11 当m>1时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增.教育精品 mm 2.(2020·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试)设函数f(x)=3x2+ax (a∈R).教育精品 ex (1)若f(x)在x=0处取得极值,求实数a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;教育精品 (2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围. [解析] (1)对f(x)求导得 f′(x)= 6x+a ex-3x2+axex-3x2+6-ax+a =.教育精品 ex2ex 因为f(x)在x=0处取得极值, 所以f′(0)=0,即a=0. 1 / 1 2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案(含解析) 3x2-3x2+6x 当a=0时,f(x)=,f′(x)=,教育精品 exex由f′(x)>0,0 f(1)=,f′(1)=, 从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 3 e3e y-=(x-1),化简得3x-ey=0. -3x2+ (2)由(1)知f′(x)= 2 3e3e 6-ax+a , ex 令g(x)=-3x+(6-a)x+a,由g(x)=0, 6-a-a2+366-a+a2+36 解得x1=,x2=.教育精品 66当x 6-a+a2+369知x2=≤3,解得a≥-.教育精品 629 故a的取值范围为[-,+∞). 212 3.已知函数f(x)=x+(1-a)x-aln x. 2(1)讨论f(x)的单调性; (2)设a>0,证明:当0 ax2+1-ax-a 由已知,得f′(x)=x+1-a-== xx x+1 xx-a .教育精品 若a≤0,则f′(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若a>0,则由f′(x)=0,得x=a. 当0 此时f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 112 (2)令g(x)=f(a+x)-f(a-x),则g(x)=(a+x)+(1-a)(a+x)-aln(a+x)-[(a22-x)+(1-a)(a-x)-aln(a-x)]=2x-aln(a+x)+aln(a-x).教育精品 2 1 / 1