&知识就是力量&
（新课标）最新北师大版高中数学必修五
章末质量评估(一)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于 ( )． A．n＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n
解析 ∵an＋1－an＋1＝0，∴an＋1－an＝－1.∴数列{an}是以－1为公差的等差数列，又 a1＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)(－1)＝3－n. 答案 D
2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为 ( )． A．81 B．120 C．168 D．192 a2a1?1－q?3?1－3?解析 由a5＝a2q得q＝3，∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.
q1－q1－3
3
4
4
2
答案 B
3．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是 ( )． A．15 B．30 C．31 D．64 解析 在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15. 答案 A
4．设{an}是等比数列，若a1 ?a1>0，?a1<0， 解析 设数列{an}的公比为q，则有a1 q>1，0 2 是递增数列． 答案 A 5．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则 ( )． A．a1＝1 B．a3＝1 &知识就是力量& C．a4＝1 D．a5＝1 解析 T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a3＝1.∴a3＝1. 答案 B 6．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10 等于 ( )． A．18 B．24 C．60 D．90 5622 解析 由a4＝a3·a7得(a1＋3d)＝(a1＋2d)(a1＋6d)得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32 290 得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60，故选C. 2答案 C 7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 ( )． A．21 B．20 C．19 D．18 解析 ∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d，∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5 n?n－1?22 ＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n＋40n＝－(n－20)＋400.∴当n＝ 220时，Sn有最大值． 答案 B 122 8．已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|等 2于 ( )． 359 A．1 B. C. D. 222 1122 解析 易知这四个根依次为：，1,2,4.不妨设，4为x－mx＋2＝0的根，1,2为x－nx 2219?9?3 ＋2＝0的根．∴m＝＋4＝，n＝1＋2＝3，∴|m－n|＝?－3?＝. 22?2?2答案 B 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于 ( )． A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 5 &知识就是力量& S101－q151S15 5 解析 显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q＝?q＝－，故＝ 5 S51－q22S5 10 ?1?3 1－?－?1553 1－q1－?q??2?3 ＝＝＝. 55 1－q1－q?1?4 1－?－??2? 答案 A 10．济南市决定从2009年到2013年五年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆比前一年递增10%，则2009年底更新现有总车辆的(参考数据：1.1＝1.46,1.1＝1.61)( )． A．10% B．16.4% C．16.8% D．20% 解析 设2009年底更新现有总车辆的比例为x，则x＋1.1x＋1.1x＋1.1x＋1.1x＝1，得 1.1－1 x＝1，解得x≈16.4%. 0.1答案 B 二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分) 2a2＋a3 11．若a2，a3，a4，a5成等比数列，其公比为2，则＝______. 2a4＋a5 2a2＋a32a2＋2a241 解析 由已知：a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝8a2，∴＝＝＝. 2a4＋a58a2＋8a2164答案 1 4 5 2 3 4 4 5 12．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________． ?a6＝23＋5d≥0，2323解析 由?解得－≤d＜－，∵d∈Z，∴d＝－4. 56?a7＝23＋6d<0， 答案 －4 13．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，an－(n＋2)an－1·an＋2nan－1＝0，则an＝________.(写出你认为正确的一个答案即可) an 解析 a－(n＋2)an－1·an＋2nan－1＝0，有(an－2an－1)·(an－nan－1)＝0，∴＝2，由a1 an－1 2n 2 2 2 ＝1知an＝2答案 2 n－1 n－1 . &知识就是力量& 14．已知数列{an}满足：a1＝m，(m为正整数)，an＋1 ?a2，当a为偶数时，＝? ?3a＋1，当a为奇数时， n n n n 2 若a6＝1， 则m所有可能的取值为________． 解析 由a6＝1得a5＝2，a4＝4，a3＝1或8，a2＝2或16，a1＝4或5或32. 答案 4,5,32 15．在数列{an}中，对任意自然数n∈N＋，恒有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝________. 解析 由Sn＝2n－1(n∈N＋)，得a1＝1，Sn－1＝2n－3(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2(n≥2)．a1 2?2－1?n＋1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋2＋2＋…＋2＝－1＋＝2－3. 2－1 2 3 n 2 3 n n n 3 答案 2 n＋1 －3 16．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为________． 16?a1＋a16?17?a1＋a17?解析 ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，∴a8＋a9>0.∵S17＝＝17a9<0.∴a9<0， 22∴a8>0.故当n＝8时，Sn最大． 答案 8 三、解答题(共40分) 17．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0. (1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式． 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. ?a1＋2d＝－6， 因为a3＝－6，a6＝0，所以? a＋5d＝0.?1 解得a1＝－10，d＝2. 所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，q＝3. 所以数列{bn}的前n项和公式为 &知识就是力量& b1?1－q?n Sn＝＝4(1－3)． 1－q 18．(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2. (1)设bn＝ an n－1.证明：数列{bn}是等差数列； 2 n n (2)求数列{an}的前n项和． (1)证明 由已知an＋1＝2an＋2， an＋12an＋2an 得bn＋1＝n＝＝n－1＋1＝bn＋1. n 222∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1. ∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知，bn＝n， 1 2n n an n－1 . n－1＝bn＝n.∴an＝n·2 2 n－1 ∴Sn＝1＋2·2＋3·2＋…＋n·2两边乘以2得： ， 2Sn＝1·2＋2·2＋…＋(n－1)·2 1 2 12n－1 ＋n·2， n－1 n 两式相减得：－Sn＝1＋2＋2＋…＋2 n n n －n·2＝ n n 2－1－n·2＝(1－n)2－1，∴Sn＝(n－1)·2＋1. 19．(10分)下面是某中学生在电脑中前4次按某一程序打出的若干实心圆，第n次打出的实心圆的个数记为an. · ··· ······ ·········· (1)请写出该生为打印实心圆所编制的程序(即数列{an}的递推公式)； (2)若按上述程序在每次若干实心圆生成后插入一个空心圆，问第n次生成的实心圆为 1 953个时，空心圆有多少个？ (3)若按(2)的条件，当空心圆达到5个时，进行第一次复制，然后再将复制后所得圆进行第二次复制，依次下去．试问至少复制几次可使空心圆不少于2 007个？ 解 (1)递推公式是a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)． (2)a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，相加得： n?n＋1?2an＝＝1 953?n＋n－3 906＝0，∴n＝62. 2即此时空心圆有62个． (3)第一次复制前有空心圆5个， &知识就是力量& 第一次复制后有空心圆10个， 第二次复制后有空心圆20个， … 第n次复制后有空心圆10×2依题意：10×2 n－1 n－1 个． ≥2 007，得n≥9. ∴至少复制9次才符合条件． 20．(10分)在等比数列{an}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且a1＝64，公比q≠1. (1)求an； (2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn. 解 (1)依题意，得a2＝a4＋3(a3－a4)， 即2a4－3a3＋a2＝0， ∴2a1q－3a1q＋a1q＝0，∴2q－3q＋1＝0， 1 解得q＝1或q＝， 2 1?1?n－1 又∵q≠1，∴q＝，故an＝64×??. 2?2? 3 2 2 ??1?n－1?7－n (2)bn＝log2?64×???＝log22＝7－n， ??2???7－n，n≤7， ∴|bn|＝? ?n－7，n>7. ∴当n≤7时，|b1|＝6，Tn＝ ?6＋7－n?nn?13－n? ＝； 22?1＋n－7??n－7? ＝ 2 当n>7时，|b8|＝1，Tn＝T7＋?n－6??n－7?21＋. 2 n?13－n???2，n≤7，∴T＝? ?n－6??n－7???2＋21，n>7. n
2020-2021学年北师大版高中数学必修五章末质量评估（一）及答案解析
