2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1.函数f(x)?x?5?24?3x的值域是______________.
2.已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是_____________.
3.双曲线x2?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.
4.已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常数
?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??，则????____________.
5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1)在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.
7.正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B?A1P?B1??,则
sin??_____________.
8.方程x?y?z?2010 满足x?y?z的正整数解(x,y,z)的个数是_____________.
二、解答题（本题满分56分）
9.(本小题满分16分)已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，当0?x?1时，|f?(x)|?1，试求a的最大值.
10. (本小题满分20分)已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1?x2且x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.
11. (本小题满分20分)证明：方程2x?5x?2?0恰有一个实根r，且存在唯一的严格递增正整数列{an}，
32使得
2?ra1?ra2?ra3??. 5 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10
一、（本题满分40分）
如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长
线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.
二、（本题满分40分）
设k是给定的正整数，r?k?正整数m,使得f(m)1（l）(l?1)（1）.记f(r)?f(r)?r?(r)),l?2.证明：存在?r??,f(r)?f(f2?1?表示不小于实数的最小整数，例如?1,?(r)为一个整数.这里，?xx??1???1. ????2??
三、（本题满分50分）
给定整数n?2,设正实数a1,a2,?,an满足ak?1,k?1,2,?,n,记
Ak?nna1?a2???ak,k?1,2,?,n.
k求证：
?ak??Ak?k?1k?1n?1. 2
四、（本题满分50分）
一种密码锁的密码设置是在正n边形A1A2?An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.
2010年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案与评分标准 说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题
1.[?3,3]. 2.?3?a?12 23.9800. 4.3?33. 5.?112. 6.. 4177. 1.
10. 8.336675. 4易知f(x)的定义域是?5，8?，且f(x)在?5，8?上是增函数，从而可知f(x)的值域为[-3,3]. 2.
令sinx=t，则原函数化为g(t)=(-at 2+a-3)t，即
g(t)=-at 3+(a-3)t. 由-at 3+(a-3)t?-3， -at(t 2-1)-3(t-1)?0，
(t-1)(-at(t +1)-3)?0及t?1?0知
-at(t +1)-3?0即a(t?t)??3. （1） 当t=0，-1时（1）总成立： 对0?t?1,0?t2?t?2； 对?1?t?0,?从而可知?3.
由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设y?k(k?1,2,?,99)与双曲线右半支交于点Ak，与直线x?100交于点Bk，则线段AkBk内部的整点个数为99?k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为 ?(99?k)?99?49，k?199212?t?t?0. 43?a?12. 2又x轴上有98个整点，
则所求整点个数为2?49?99+98=9800. 4.
设?an?的公差为d,?bn?的公比为q,则 3+d=q， （1） 3（3+4d）=q2，（2） （1）代入（2）得
9?12d?d2?6d?9，求得d?6,q?9.
从而有3?（6n?1）?logα9n?1?β对一切正整数n都成立， 即6n?3?(n?1)logα9?β对一切正整数n都成立。 从而logα9?6,?3??logα9?β， 求得α?33，β?3，α?β?33?3. 5.
x令a?y，则原函数化为g(y)?y?3y?2,g(y)在（?23,??）上是递增的， 2当0 g(y)max?a?2?3a?1?2?8?a?1?2?a?所以g(y)min?()?3??11， 212211?2??； 24当a?1时，y?[a,a]， g(y)max?a2?3a?2?8?a?2， 1?3?2?1?2??， 41综上f(x)在x?[-1,1]上的最小值为?. 4所以g(y)min?2?26. 同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为 217?，从而先投掷人的获胜概率为 36127527547?（）??（）??... 12121212127184=?. ?121-25119144= 7. 12. 17解一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系。设正三棱柱的棱长为2，则B（1，0，0），B1（1，0，2），A1（-1，0，2），P（0，3，1），从而， BA1?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B1A1?(?2,0,0),B1P?(?1,3,?1). 设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是 m?(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)，则 ? ??m?BA1??2x1?2z1?0,? ?m?BP??x1?3y1?z1?0,? ??n?B1A1??2x2?0,? ?n?B1P??x2?3y2?z2?0,由此可设m?(1,0,1),n?(0,1,3), 所以m?n?m?ncosα, 即3?2?2cosα?cosα?64. 所以sinα?104. 解二：如图PC?PC1,PA1?PB. 设A1B与AB1交与点0，则 OA1?OB,OA?OB1,A1B?AB1， 因为PA?PB1,所以PO?AB1， 从而AB1?平面PA1B. 过0在平面PA1B上作OE?A1P,垂足为E. 连接B1E,则?B1EO为二面角B?A1P?B1的平面角. 设AA1=2，则易求得 PB?PA1?5,A1O?B1O?2,PO?3.
2010年全国高中数学联赛试题参考答案
