2010年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
考试时间:2010年10月17日 8:00—9:20
一、填空题(本题满分64分,每小题8分) 1.函数f(x)?x?5?24?3x的值域是______________.
2.已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3,则实数a的取值范围是_____________.
3.双曲线x2?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是___________.
4.已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3,且存在常数
?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??,则????____________.
5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1)在区间x?[?1,1]上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是___________________.
6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.
7.正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等,P是CC1的中点,二面角B?A1P?B1??,则
sin??_____________.
8.方程x?y?z?2010 满足x?y?z的正整数解(x,y,z)的个数是_____________.
二、解答题(本题满分56分)
9.(本小题满分16分)已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0),当0?x?1时,|f?(x)|?1,试求a的最大值.
10. (本小题满分20分)已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1?x2且x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.
11. (本小题满分20分)证明:方程2x?5x?2?0恰有一个实根r,且存在唯一的严格递增正整数列{an},
32使得
2?ra1?ra2?ra3??. 5 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)
考试时间:2010年10月17日 9:40—12:10
一、(本题满分40分)
如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长
线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.
二、(本题满分40分)
设k是给定的正整数,r?k?正整数m,使得f(m)1(l)(l?1)(1).记f(r)?f(r)?r?(r)),l?2.证明:存在?r??,f(r)?f(f2?1?表示不小于实数的最小整数,例如?1,?(r)为一个整数.这里,?xx??1???1. ????2??
三、(本题满分50分)
给定整数n?2,设正实数a1,a2,?,an满足ak?1,k?1,2,?,n,记
Ak?nna1?a2???ak,k?1,2,?,n.
k求证:
?ak??Ak?k?1k?1n?1. 2
四、(本题满分50分)
一种密码锁的密码设置是在正n边形A1A2?An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:这种密码锁共有多少种不同的密码设置.
2010年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案与评分标准 说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次。
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次。
一、填空题
1.[?3,3]. 2.?3?a?12 23.9800. 4.3?33. 5.?112. 6.. 4177. 1.
10. 8.336675. 4易知f(x)的定义域是?5,8?,且f(x)在?5,8?上是增函数,从而可知f(x)的值域为[-3,3]. 2.
令sinx=t,则原函数化为g(t)=(-at 2+a-3)t,即
g(t)=-at 3+(a-3)t. 由-at 3+(a-3)t?-3, -at(t 2-1)-3(t-1)?0,
(t-1)(-at(t +1)-3)?0及t?1?0知
-at(t +1)-3?0即a(t?t)??3. (1) 当t=0,-1时(1)总成立: 对0?t?1,0?t2?t?2; 对?1?t?0,?从而可知?3.
由对称性知,只需先考虑x轴上方的情况,设y?k(k?1,2,?,99)与双曲线右半支交于点Ak,与直线x?100交于点Bk,则线段AkBk内部的整点个数为99?k,从而在x轴上方区域内部整点的个数为 ?(99?k)?99?49,k?199212?t?t?0. 43?a?12. 2又x轴上有98个整点,
则所求整点个数为2?49?99+98=9800. 4.
设?an?的公差为d,?bn?的公比为q,则 3+d=q, (1) 3(3+4d)=q2,(2) (1)代入(2)得
9?12d?d2?6d?9,求得d?6,q?9.
从而有3?(6n?1)?logα9n?1?β对一切正整数n都成立, 即6n?3?(n?1)logα9?β对一切正整数n都成立。 从而logα9?6,?3??logα9?β, 求得α?33,β?3,α?β?33?3. 5.
2010年全国高中数学联赛试题参考答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)