∴∠CDE=∠ACD， ∴∠BCD=∠BEC，
（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC， ∴△BDC∽△BCE， ∴
，
∵BC=2，BD=1， ∴BE=4，EC=2CD， ∴DE=BE﹣BD=3，
在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9， ∴CD=
，CE=
，
过点F作FM⊥AB于M，
∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°， ∴△AFM∽△BAC， ∴
，
∵DE=3，
∴AD=AF=AC=，AB=， ∴FM=
，
过点F作FN⊥BC于N， ∴∠FNC=90°， ∵∠FAB=∠ABC， ∴FA∥BC，
∴∠FAC=∠ACB=90°， ∴四边形FNCA是矩形， ∴FN=AC=，NC=AF=， ∴BN=，
在Rt△FBN中，BF=
，
在Rt△FBM中，sin∠ABF=．
【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
25．（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动
点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1． ①求
的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．
【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；
（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK=，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=，CH=，再判断出△EMN∽△EHD，的粗
，△ED'M∽△ECH，得出
，进而得出
，即可得出结论；
②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出即可．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=∵O是BD中点， ∴OD=OB=OA=
，
，
，
∴∠OAD=∠ODA， ∵OE=DE， ∴∠EOD=∠ODE， ∴∠EOD=∠ODE=∠OAD， ∴△ODE∽△ADO， ∴
，∴
DO2=DE?DA， ∴设AE=x， ∴DE=5﹣x， ∴（∴x=
）2=5（5﹣x）， ，
；
即：AE=
（2）如图2，在矩形ABCD中， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC=45°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3， ∴AE=CD=3， ∵EF⊥EC， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠CED=90°， ∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠CED=∠AFE， ∵∠D=∠A=90°， ∴△AEF≌△DCE， ∴AF=DE=2， ∴BF=AB﹣AF=1， 过点G作GK⊥BC于K， ∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°， ∵∠KCG=∠BCF， ∴△CHG∽△CBF， ∴
，
设BK=GK=y， ∴CK=5﹣y， ∴y=， ∴BK=GK=， 在Rt△GKB中，BG=
；
（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°， ∵AE=1，AD=5， ∴DE=4， ∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°， ∴D'C=1， 设D'H=DH=z， ∴HC=3﹣z，
根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2， ∴z=，
∴DH=，CH=， ∵D'N⊥AD， ∴∠AND'=∠D=90°， ∴D'N∥DC， ∴△EMN∽△EHD， ∴
，
∵D'N∥DC， ∴∠ED'M=∠ECH， ∵∠MED'=∠HEC， ∴△ED'M∽△ECH， ∴， ∴，
∴， ∴
；
②相似，理由：由折叠知，∠∴∠MD'H+∠ED'N=90°， ∵∠END'=90°， ∴∠ED'N+∠NED'=90°，
EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
2020中考数学试题含答案(53)
