范文范例学习指导
09级数模试题
1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。(15分)
解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 : (1)地面为连续曲面
(2)长方形桌的四条腿长度相同
(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D处,A、B,C、D的初始位置在与x轴平行,再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B,C、D平行。当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab与x轴的夹角记为?。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性,令
f(?)为A、B离地距离之和,
,g(?)为C、D离地距离之和,它们的值由?唯一确定。由假设(1)
又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故f(?)g(?)=0必成立(??)。f(?),g(?)均为?的连续函数。不妨设
f(0)?0,g(0)?0g(若g(0)也为
0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归
结为: 已知
f(?),g(?)均为?的连续函数,f(0)?0,g(0)?0且对任意?有f(?0)g(?0)?0,求证存
f(?0)g(?0)?0。
在某一?0,使
证明:当θ=π时,AB与CD互换位置,故也是?的连续函数,h(0)?理,存在?0,0??0f(?)?0,g(?)?0。)?g()?作h(?)?f(?,显然,h(?)f(0)?g(0)?0而h(?)?f(?)?g(?)?0,由连续函数的取零值定
??,使得h(?0)?0,即f(?0)?g(?0)。又由于f(?0)g(?0)?0,故必有
f(?0)?g(?0)?0,证毕。
2.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会,试用合理的方法分配各宿舍的委员数。(15分)
解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设:A宿舍的委员数为x人,B宿舍的委员数为y人,C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1,其余取整数部分。 则
x+y+z=10;
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x/10=235/1000; y/10=333/1000; z/10=432/1000; 00xy10
10 ,x,y,z为正整数;
0z10
解得:x=3 y=3 z=4
3.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力,估计可使一头80公斤重的生猪每 天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元,但是预测每天会降低0.1元,问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。(15分)
解:设在第t天出售这样的生猪(初始重80公斤的猪)可以获得的利润为z元。 每头猪投入:5t元
产出:(8-0.1t)(80+2t)元
利润:Z = 5t +(8-0.1t)(80+2t)=-0.2 t^2 + 13t +640
=-0.2(t^2-65t+4225/4)+3405/4 当t=32或t=33时,Zmax=851.25(元)
因此,应该在第32天过后卖出这样的生猪,可以获得最大利润。
4. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求,生产的A1,A2全部能售出,且每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。(1)试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大。(2)33元可买到1桶牛奶,买吗?(3)若买,每天最多买多少?(4)可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元? (5)A1的获利增加到30元/公斤,应否改变生产计划?(15分) 解:设:每天生产将x桶牛奶加工成A1,y桶牛奶加工成A2,所获得的收益为Z元。 加工每桶牛奶的信息表:
产品 所需时间 产量 获利/公斤 A1 12小时 3公斤 24元 A2 8小时 4公斤 16元 (1)
0x+y<=50
480 12x8y3x
100
y0
Z=24*3x + 16*4y=72x+64y
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解得, 当 x=20,y=30时, Zmax=3360元
则此时,生产生产计划为20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2。 (2)设:纯利润为W元。
W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0
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数学建模题目及答案解析
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