关于高等数学 答案
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
第六章 定积分的应用
第二节 定积分在几何上的应用 1 求图中各阴影部分的面积 （1） . (2) 1
32 332 (4)
316 (3)
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积
4 (1) 6??
33 (2)?ln2
21 (3)e??2
e (4)b?a
93
414 （1）21（2）4
32
5 (1) a
3 (2) ?a2
8 (3)18?a2 ?6 （1）2???3?
3（2）?
（3）??2sin?及?2?cos2?
?6?1?3?2?4???547．求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）y?x2和x轴、向所围图形，绕x轴及y轴。 （2）y?x2和y2?8x,绕x及y轴。
（3）x2??y?5??16,绕x轴。 （4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。
（5）摆线x=a?t-sint?,y?a?1?cost?的一拱,y?0，绕x轴。
8．由yx x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
Vx?3
2128?? 79．把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形 绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积10．（1）证明 由平面图形0axb 0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 V?2?b32?a3 105?xf(x)dx 证明略。
a （2）利用题（1）结论 计算曲线ysin x(0x)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体
积 2?2
11．计算底面是半径为R的圆 而垂直于底面上一条
直径的所有截面都是等边三角形的立体体积
2312．计算曲线y?x2上相应于3?x?8的一段弧
3固定
433R 3的弧长。12
122313．计算曲线y?ln(1?x2)上相应于0?x?的一段弧的弧长。ln3?
?x?acos3t14．求星型线?的全长。6a 3?y?asint1215．求曲线??a?1?cos??的周长。8a
第三节 定积分的应用
1 由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力F(单位 N)与伸长量s(单位 cm)成正比 即Fks (k为
比例常数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm 计算所作的功 18 k(牛厘米)
解 将弹簧一端固定于A 另一端在自由长度时的点O为坐标原点 建立坐标系 功元素为dWksds 所求功为
126 W??ksds?ks0?18k(牛厘米)
0262．直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽 设温度保持不变 要使蒸汽体积
缩小一半 问需要作多少功800?ln2(J) 解 由玻马定律知
PV?k?10?(?102?80)?80000??
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2 则
P(x)?[(?102)(80?x)]?80000? P(x)? 功元素为dW?(??102)P(x)dx 所求功为 W?800 80???400408001dx?800?ln2(J)
(??10)?dx?80000??080??80??23．设地球的质量为M，半径为R，现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处，问需要做多少功（设引力系数为G）GmMh R?h??4．半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功
解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B为圆柱心，由式 （11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静的功为零。
滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=?来计算所以它的元功为 ?W??Md?=-体的速度瞬滑动摩擦力
FN
?FnRds
如FN及R均为常量，滚动一段路程S后滚动摩阻力偶的功为 W=??FS?Fnds=-ns -R0R可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W与圆柱半径成反比
5．设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功 解 在水深x处 水平截面半径为r?10?x 功元素为
23 dW?x??r2dx??x(10?x)2dx? 所求功为
1875(吨米)(kJ)
6 有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门
受的水压力205 8(kN)
解 建立x轴 方向向下 原点在水面 水压力元素为
23顶2m 求闸门上所
dP?1?x?2dx?2xdx?
闸门上所受的水压力为
P?2xdx?x22?21(吨)=205 8(kN)
2?55 7 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体 尺寸如图所示 当水箱装满水时 计算水箱的一个端面所受的压力 (kN)
解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为
(x?3)2y24??1? 2312()4 压力元素为
dP?1?x?2y(x)dx?x?所求压力为
8(3)2?(x?3)2dx?
34499 ??2cos2tdx??(吨)(kN)
4016(提示 积分中所作的变换为x??sint)
8 有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长10m和6m 高为20m 较长的底边与水面相齐 计算闸
门的一侧所受的水压力 14388(千牛)
解 建立坐标系如图 直线AB的方程为 y?5??33441x? 1015 压力元素为
dP?1?x?2y(x)dx?x?(10?x)dx? 所求压力为
P??x?(10?1x)dx?1467(吨)14388(千牛)
05209．一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行 而顶离水面3cm 试求它每面所受的压力 解 建立坐标系如图
腰AC的方程为y?x 压力元素为
23 dP?(x?3)?2?x?dx?x(x?3)dx?
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