高等数学上学期期末考试试卷及答案四份
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高等数学试卷（B卷）答案及评分标准
2004-2005年度第一学期
科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩: 一、填空题（3??5?15?） 1、f?x??2、lim(x?0ln(x?2)的定义域是_ x?3sin2x1?x?sin)? 2 xx3xlim(1?)?3、x??xe3
2
1?4、如果函数f(x)?asinx?sin3x，在x?处有极值，则a?335、
??cos2?2 ?3x?(sinx?1)dx?43
二、单项选择题（3??5?15?）
1、当x?0时，下列变量中与x等价的无穷小量是（ ）
A . 1?cosx B . x?x2 C . ex?1 D . ln(1?x)sinx 2、设f(x)在x?a处可导, 则下列极限中等于f'(a)的是( A )。
f(a?h)?f(a?h)f(a)?f(a?h) B．lim
h?0h?0hhf(a?2h)?f(a?h)f(a?2h)?f(a)C．lim D． lim
h?0h?0h3h2A．lim3、设在?a,b?上函数f(x)满足条件f??x??0,f??(x)?0则曲线y?f?x?在该区间上（ ）
A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的 4、设函数f?x?具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）
A. C. d
xd? b?? af(t)dt???f(x)dx ?? af(x)dx???f(x) B. d?????dx??f(x)dx??f(x)dx
D.
?f?(t)dt?f(t)?C
??5、反常积分
? 0xe?x2dx（ ）
A. 发散 B. 收敛于1 C. 收敛于1 D. 收敛于?1
22三、算题（6'?8?48'） 1、求极限lim2、求lim?x?2x?0tanx?sinx 3sinxln(sinx)2 (??2x)??x?sintt?3、求曲线?在当处的切线方程和法线方程
4?y?cos2t4、已知函数5、求积分6、求积分
y?xsinx,x?0，计算dy
dxxe?dx
? e1e lnxdx
7、计算曲线y?sinx,0?x??与x轴围成的图形面积，并求该图形绕y轴所产生的旋转体体积。
8、计算星型线x?asin3t,y?acos3t,0?t?2?,a?0的全长.
四、求函数求y?x3?12x?10的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（7'）
1]上连续， 且0?f(x), 证明：方程x??f(t)dt?1在[0,1]上有且五、设f(x)在[0， 0 x仅有一根（5'）
dx22tf(x?t)dt （5'） 六、设f (x)连续, 计算? 0dx?et，t?0?2 x设f（t）??F（x）?f(t)dt（5'） 七、 , 计算：t? ??，t?0?6?1?t答案：
一、 填空题
3xlim(1?)?1、（2，3）∪（3，+∞） 2、2 3、 x??x4、2 5、二、
1、D 2、A 3、B 4、A 5、C 三、计算题
1?cosx1tanx?sinx== lim32x?0x?0sinx2sinx 2’ 4’
e3
??cos2?2 ?3x?(sinx?1)dx?43
1、解：lim1cosxcosxln(sinx)1sinxlimlimlim2、解：?=== 2??4(??2x)??4(??2x)(??2x)8x?x?x?2223、解: 当t??4曲线过点(2dy,0), 由于2dx?4??22, 4’
2) 1’ 2所以, 当t??4处的切线方程和法线方程分别为:y??22(x?22(x?) 1’ 42 y?dyd(esinxlnx)sinxsinx4、解:??esinxlnx(cosxlnx?)?xsinx(cosxlnx?)
dxdxxx解: 令u?x,dx?2udu, 则: 1’ 解: 令u?x,dx?2udu, 则: 1’ 5、令u?=
xedx x,dx?2udu, ?xuuuu2uedu?2ue?2edu?2(u?1)e?c?2(x?1)e???c
e6、解:
? e1e e2elnxdx=?11?lnxdx??elnxdx?[?xlnx]11??11dx?[xlnx]1??dx?2?
11eee
?7、解:面积s??sinxdx?2 2’
0 体积微分元dV?2?xsinxdx 1’
2 所求体积V??2?xsinxdx?[?2?xcosx]?0??2?cosxdx?4? 3’
00??8、解: 弧微分ds?弧长s??2?03asin2tdt 2’ 23asin2tdt?6a?2sin2tdt?6a 4’
02?2y'?3x?12,令y'?0,得驻点x1??2,x2?2 四、解:
1’
由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’ 函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1’
凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0) 1’ 拐点为:(0,10)
五、证: 构造函数?(x)?x??f(t)dt?1, 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’
0 x?(0)??1,?(1)??f(x)dx?0,
01由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)内使?(?)?0 2’ 又因为?'(x)?1?f(x)?0所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’ 原命题得证.
六、解: 令:u?x2?t2, du??2tdt 2’
dxd10222tf(x?t)dt[?f(u)du]?xf(x) =2?? 0 xdxdx2七、解:当x?0时，F(x)??etdt?ex 2’
??x当x?0时，F(x)??x??f(t)dt??0??edt??tx0t21dt?1?arctanx3 631?t《高等数学IV1》课程考试试卷
（A卷）
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