华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳
一．变量与函数
1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量
叫做自变量， y 叫做因变量， y 叫做 x 的函数。
2．自变量的取值范围：
（ 1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（ 2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意
义。
（ 3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：
①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
x 和 y，对于 x 的每一个数值 y 都有唯一的值与之对应，我们说 x
3 ．函数值：当自变量取某一数值时
对应的函数值。这里有三种类型的问题：
（ 1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（ 2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（ 3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：
1．各象限内点的坐标的特征：
（ 1）点 p （ x,y）在第一象限 →x＞ 0,y＞0.
（ 2）点 p （ x,y）在第二象限 → x＜ 0,y＞0.
（ 3）点 p （ x,y）在第三象限 →x＜ 0,y＜0
（ 4）点 p （ x,y）在第四象限 →x＞ 0,y＜0.
（ 2）点 p （ x,y）在 y 轴上 →x=0,y 为任意实数
4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （ 1）点 p （ x,y）在第一、三象限夹角平分在线
→x=y.
2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：
（ 1）点 p （ x,y）在 x 轴上 →x为任意实数， y=0
3 ．关于 x 轴， y 轴，原点对称的点的坐标的特征：
x,-y ） . （ 1）点 p （ x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为（
-x,y ） . （ 2）点 p （ x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为（
-x,-y ） （ 3）点 p （ x,y）关于原点对称的点的坐标为（
（ 2）点 p（ x,y ）在第二，四象限夹角平分在线 →x+y=0
5．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：
（ 1）位于平行于 x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。 （ 2）位于平行于 y 轴的直线上的所有点的横坐标相同。 6．点到坐标轴及原点的距离： （ 1）点 p（ x,y ）到轴的距离为
｜ y︱ .
（ 2）点 p（ x,y ）到 y 轴的距离为∣ x∣ .
22 （ 3）点 p（ x,y ）到原点的距离为 x y
（ 4）同在 x 轴上的两点 A （ x1,0 ）与 B （ x2,0 ）之间的距离为 AB=|x1-x2| （ 5）同在 y 轴上的两点 C（ 0,y1 ）与 D（ 0,y2 ）之间的距离为 CD=|y1-y2| 三．函数的图像
函数图像上的点与其解析式的关系 1．函数图像上任意一点
p﹙ x,y ﹚中的 x、 y 满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值﹙
x,y ﹚都在函
数的图像上。
﹙ x,y ﹚代入函数关系式，如果满足函数关 2．判断点 p﹙ x,y ﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标
系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。
四．一次函数
（一） 一次函数的定义
1．定义 :含有自变量的式子为一次整式，即形如式子 y＝kx+b( 其中 k 和 b 为常数， k≠ 0)叫做一次函数。 比例函数：在一次函数 y=kx+b 中如果 b=0 即变为 y=kx( 其中 k≠0)，这样的函数叫做正比例函数。 2．注意：
（ 1）由一次函数和正比例函数的定义可知 ;
① 函数是一次函数 → 解析式为 y＝ kx+b 的形式。 ② 函数是正比例函数 → 解析式为 y=kx 的形式。 （ 2）一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征： ① k ≠0② x 的次数是 1 ③常数 b 为任意实数 （ 3）正比例函数解析式 y=kx 的结构特征 ① k ≠0② x 的次数是 1 ③常数 b=0
3．说明：在 y=kx+b 中若 k=0 则 y=b ﹙ b 为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。 4．正比例函数与一次函数的关系：
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。
正
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一次函数 y=kx+b ，当 b=0 时为正比例函数 一次函数 y=kx+b ，当 b≠0时一般的一次函数 （二） 一次函数的图像
1．一次函数图像的形状： 一次函数 y=kx+b 的图像是一条直线，通常称为直线 正比例函数 y=kx 的图像也是一条直线，称为直线
y=kx+b y=kx
2．一次函数图像的主要特点 :
一次函数 y=kx+b 的图像经过点﹙ 0， b﹚的直线，正比例函数 注意：点﹙ 0， b﹚是直线 y=kx+b 与 y 轴的交点。
y=kx+b 的图像是经过原点﹙ 0， 0﹚的直线
① 当 b＞ 0 时，此时交点在 y 轴的正半轴上，
② 当 b＜ 0 时，此时交点在 y 轴的负半轴上， ③ 当 b=0 时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。 3．一次函数图像的画法：
根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。
那么，先描出哪两点比较好呢？
选两点应以计算和描点简单为原则，一般来说，当 b≠0时，一般的一次函数 y=kx+b 的图像，应选取
b,0﹚；当 b=0 时，画正比例函数 y=kx 的图像，通常取﹙ 22 ﹙ 1， k﹚两点，个别情况下可以做些变通，例如画函数 33 它与两个坐标轴的交点﹙ 0， b﹚与﹙ -
也可以取﹙ 0， 0﹚与﹙ 3， 2﹚两点。
4．直线 y=kx+b 与坐标轴的交点
（ 1） 令 x=0, 则 y=b 所以直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标为﹙ 0， b﹚ （ 2） 令 y=0, 则 kx+b=0 所以 x=-b k
b,0﹚注意：此时直线 y=kx+b 与 x 轴， y 轴围成的三角形面积 k 所以直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标为﹙ - S=1b×∣ -∣ ×∣ b∣ 2k
5．两直线在直角坐标系内的位置关系 : （ 1）两直线的解析式中当 k 相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是 “左减右加，上加下减 ”
（ 2）两直线的解析式中当 （三）一次函数的性质
1．正比例函数的性质
（ 1）当 k＞ 0 时，图像经过第一、三象限， （ 2）当 k＜ 0 时，图像经过第二、四象限，
y 随 x 的增大而增大，直线 y 随 x 的增大而减小，直线
b 相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙
0， b﹚ .
0， 0﹚与 k
y=x 的图像，可以取﹙
0， 0﹚与﹙ 1，﹚两点，
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y=kx 从左到右上升。 y=kx 从左到右下降。
2．一次函数 y=kx+b 的性质
（ 1）当 k＞ 0 时，直线 y=kx+b 从左到右上升，此时
y 随 x 的增大而增大。
（ 2）当 k＜ 0 时，直线 y=kx+b 从左到右下降，此时 （ 3）当 b＞ 0 时，直线 y=kx+b 与 y 轴正半轴相交。 （ 4）当 b＜ 0 时，直线 y=kx+b 与 y 轴负半轴相交。
y 随 x 的增大而减小。 3．直线 y=kx+b 的位置与 k 、 b 的符号之间的关系 直线 y=kx+b 的位置是由 k 与 b 的符号决定的，其中 k 决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势， b 决定直线与 y 轴交点的位置是在 y 轴的正半轴，还是负半轴，还是原点。 k 和 b 综合起来决定直线 y=kx+b 在直角 坐标系中的位置共有六种情况：
①当 k ＞ 0， b＞ 0 时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；
②当 k ＞ 0， b＜ 0 时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；③当 k ＜ 0， b＞ 0 时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；④当 k ＜ 0， b＜ 0 时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；⑤当 k ＞ 0， b=0 时，直线经过第一、三象限；⑥当 k ＜ 0， b=0 时，直线经过第二、四象限。
（四）正比例函数与一次函数解析式的确定
1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式 y=kx ﹙ k≠0﹚中的常数 k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式 y=kx+b ﹙ k≠0﹚中的常数 k 和 b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
2．待定系数法： 先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚，再根据已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从
y=kx 中的 k，一次 而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。其中的未知系数也称待定系数，如正比例函数 函数 y=kx+b 中的 k 和 b 都是待确定的系数。
3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
（ 1）设出含有待定系数的解析式；
（ 2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （ 3）解方程或方程组，求出待定系数； （ 4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
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注意：通常正比例函数解析式设 y=kx ，只有一个待定系数 k，一般只需一对 x 与 y 的对应值即可；一次函 数解析式设 y=kx+b ，其中有两个待定系数 k 和 b，因而需要两对 x 与 y 的对应值，才能求出 k 和 b 的值。 五．反比例函数
（一）反比例函数定义
1．一般的，函数 y=k-1 ﹙ k 是常数， k≠0﹚叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成 式，其中 k 叫做比例系数。 2．反比例函数解析式的主要特征：
（ 1）等号左边是函数 y,右边是一个分式，分子是不为零的常数 写成 y=kx 的形式，则 x 的指数是 -1。 （ 2）比例系数 “k≠0是”反比例函数定义的重要组成部分。 （ 3）自变量 x 的取值范围是 x≠0的一切实数。
（二）反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关 于原点成中心对称。由于反比例函数中自变量 x≠0，函数 y≠0，所以它的图像与 x 轴和 y 轴都没有交点，即双 曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
（三）反比例函数的性质
1．当 k＞ 0 时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内
增大而减小。
2．当 k＜ 0 时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内 增大而增大。
（四）反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 y=-1k 中只有一个待定系数，因此只需要一对
的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出
k 的值，从而确定其解析式。
y 随 x 的
y=kx 的形 x
k,分母中含有自变量 x,且 x 的指数是 1，若
y 随 x 的
x 与 yx
（五） “反比例关系 ”与 “反比例函数 ”的区别与联系 反比例关系是小学学过的概念：如果 xy=k ﹙ k 是常数 k≠0﹚，那么 x 与 y 这两个量成反比例关系，这里 与 y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式，例如 y+3 与 x 成反比例则有 y+3=
成反比例，则 y=
例关系。 k,y x2xkk,
y=
xx2
x
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