习题3-1
1、设(X,Y)的分布律为
3 X Y 1 2 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a 1/9 求a。
解：由分布律的性质，得
11111，即????a??1，a?0， p?1,a?0??ij691839ij解得，a?2。 9注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：
（1）P{a?X?b,Y?c}；（2）P{0?Y?b}；（3）P{X?a,Y?b}。
解：根据分布函数的定义F(x,y)?P{X?x,Y?y}，得
（1）P{a?X?b,Y?c}?P{X?b,Y?c}?P{X?a,Y?c}?F(b,c)?F(a,c)； （2）P{0?Y?b}?P{X???,Y?b}?P{X???,Y?0}?F(??,b)?F(??,0)； （3）P{X?a,Y?b}?P{X???,Y?b}?P{X?a,Y?b}?F(??,b)?F(a,b)。
3、设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，分布律如下：
???????Y1 2 3 4 X 1 0 1/4 0 1/16 2 1/16 1/4 0 1/4 3 0 1/16 1/16 0 试求：（1）P{?X?123（2）P{1?X?2,3?Y?4}；（3）F(2,3)。 ,0?Y?4}；
2解：由(X,Y)的分布律，得 （1）P{?X?12311,0?Y?4}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?1,Y?3}??0?0?； 244（2）P{1?X?2,3?Y?4}?P{X?1,Y?3}?P{X?1,Y?4}?P{X?2,Y?3}?P{X?2,Y?4}
?0?115?0??； 16416（3）F(2,3)?P{X?2,Y?3}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?1,Y?3}
?P{X?2,Y?1}?P{X?2,Y?2}?P{X?2,Y?3}?1119?0?0???0?。 4164164、设X，Y为随机变量，且P{X?0,Y?0}?3/7,P{X?0}?P{Y?0}?4/7，求
P{max(X,Y)?0}。
解：P{max(X,Y)?0}?P{(X?0)U(Y?0)}?P{X?0}?P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?5/7。 注：此题关键在于理解{max(X,Y)?0}表示{(X?0)U(Y?0)}，然后再根据概率的加法公式。 5、(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(?1,1),(?1,1/3),(2,0)，且相应概率依次为请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布。
解：（1）根据(X,Y)的全部可能取值以及相应概率，得(X,Y)的概率分布表为
1115，，，。631212X Y 0 10 60 ?1 2 5 121/3 1 0 0 1 120 1 30 （2）根据Y的边缘分布与联合分布的关系，得
X Y 0 10 60 ?1 2 p?j 所以，Y的边缘分布为
1/3 1 0 0 1 120 1 30 1 35 1271 1212Y 0 1/3 1 711pk 12123226、设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,10,10,0)，其概率密度函数为
x?y?1f(x,y)?e200，
200?22求P{X?Y}。
解：由图形对称性，得P{X?Y}?P{X?Y}，故P{X?Y}?1。 2注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?47、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??，
?0,其它?（1）确定常数k；
（2）求P{X?1,Y?3}；（3）求P{X?1.5}；（4）求P{X?Y?4}。
分析：利用P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdy???Gf(x,y)dxdy，再化为累次积分，其中
G?DoDo??(x,y)0?x?2,2?y?4?
解：（1）由概率密度函数的完备性，得1???????????f(x,y)dxdy??20?12k(6?x?y)dydx?8k，解得
k?1。 813； (6?x?y)dy???????02881.5?1.54127（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)???f(x,y)dxdy??dx?； (6?x?y)dy?????02832（2）P(X?1,Y?3)?13f(x,y)dxdy??dx?13（4）P(X?Y?4)?x?y?4??f(x,y)dxdy??dx?024?x012(6?x?y)dy?。 838、已知X和Y的联合密度为
?cxy,0?x?1,0?y?1， f(x,y)??其它?0,试求：（1）常数c；（2）X和Y的联合分布函数F(x,y)。
解：（1）由概率密度函数的完备性，得
1?????????f(x,y)dxdy??11cxydxdy?c??，解得c?4。 0?02211F(x,y)?（2）
??xy????0,x?0或y?0??xy??0?04uvdvdu,0?x?1,0?y?1?0,?x2y2?x1???4uvdvdu,0?x?1,y?1f(u,v)dudv???0?0??x2?1y?y24uvdvdu,x?1,0?y?1??0?0??11??1?4uvdvdu,x?1,y?1??0?0x?0或y?00?x?1,0?y?1 0?x?1,y?1。x?1,0?y?1x?1,y?19、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?xf(x,y)??其它?0,求边缘概率密度fY(y)。
解：fY(y)???????14.8y(2?x)dx,0?y?1?2.4y(3?4y?y2),0?y?1?f(x,y)dx???y??。
其它?0,?其它?0,210、设(X,Y)在曲线y?x，y?x所围成的区域G内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。
解：据题意知，区域G的面积为SG?由于(X,Y)在区域G内服从均匀分布，
?10?2dydx?xx1， 6?1?,(x,y)?G?6,(x,y)?G故(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)??SG。 ??0,其它??0,其它?fX(x)???????x6dy,0?x?1?6(x?x2),0?x?1?f(x,y)dy???x2??，
其它?0,?其它?0,?y6dx,0?y?1???6(y?y),0?y?1f(x,y)dx???y??。
其它??0,?其它?0,fY(y)??????注：此题求解首先必须画出区域G的图形。然后根据图形确定积分上下限。
习题3-2 1、二维随机变量(X,Y)的分布律为
X Y 0 1 0 7/15 7/30 7/30 1/15 1 （1）求Y的边缘分布律；（2）P{Y?0|X?0}，P{Y?1|X?0}；（3）判定X与Y是否独立？
解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知
X Y 0 1 0 7/15 7/30 7/30 1/15 1 p?j 所以，Y的边缘分布律为
0.7 0.3 Y pk 0 1 0.7 0.3 P{Y?0|X?0}?（2）
P{X?0,Y?0}P{X?0,Y?0}7/152???，
P{X?0}P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}7/15?7/303P{Y?1|X?0}?P{X?0,Y?1}P{X?0,Y?1}7/301???；
P{X?0}P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}7/15?7/303（3）根据二维随机变量(X,Y)的分布律可知其边缘分布律
X Y 0 0 1 p?j 1 pi? 7/15 7/30 0.7 7/30 1/15 0.3 0.7 0.3 由于P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X与Y不独立。
2、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为X与Y。据以往积累的资料知，
X和Y的联合分布律为
X Y 51 52 53 54 55 51 52 53 54 55 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 (1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律。
解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得 X Y 51 51 52 53 54 55 52 53 54 55 pi? 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 0.18 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 0.15 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.35 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 0.12 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 0.20 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 p?j （2）P{X?51|Y?51}?P{X?51,Y?51}0.063??，
P{Y?51}0.2814
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
