第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
★ 知 识 梳理 ★
(一)二元一次不等式表示的区域
对于直线Ax?By?C?0(A>0)
当B>0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0上方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的下方区域. 当B<0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0下方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的上方区域.
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（x1,y1）和（x2,y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法 2.难点：如何确定不等式Ax?By?C?0(或<0)表示Ax?By?C?0的哪一侧区域，如何寻求线性规划问题的最优解.
3.重难点：如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解
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(1) 怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？
?x?y?5?0?问题1. 画出不等式组?x?y?0表示的平面区域
?x?3?点拨：
y（2）求线性规划的最优解
x+y=0A(3,8)问题2. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港
655B(-,)x=3出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)223x自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.x-y+5=00C(3,-3)设汽车、摩托艇所需的时间分别是x,y小时.
(1)写出x,y所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示x,y范围的图形；
(2)如果已知所需的经费p?100?3(5?x)?2(8?y)(元)，那么v,w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？ 点拨：(1) 由题意得：v＝
50300,w?,4≤v≤20,30≤w≤100, yx
∴3≤x≤10,
525≤y≤.① 22由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
(2) 因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－
3的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点2(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1 二元一次不等式(组)与平面区域 题型1. 求约束条件及平面区域的面积
例1 .双曲线x2?y2?4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
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?x?y?0?x?y?0??A. ?x?y?0 B. ?x?y?0
?0?x?3?0?x?3??
?x?y?0?C. ?x?y?0 ?0?x?3?
?x?y?0?D. ?x?y?0
?0?x?3?【解题思路】依据平面区域的画法求解.
[解析]双曲线x2?y2?4的两条渐近线方程为y??x，两者与直线x?3围成一个三角形区域
?x?y?0?时有?x?y?0，故选A。
?0?x?3?【名师指引】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。
?x?y?5?0?例2.不等式组?x?y?0表示的平面区域的面积为________
?x?0?【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.
[解析]不等式x?y?5?0表示直线x?y?5?0上及右上方的平面区域,x?y?0表示直线
x?y?0 上及右上方的平面区域,x?3表示直线x?3上及左边的平面区域， 所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1中的阴影部分?ABC,其中
55111121 A(?,),B(3,?3),C(3,8),故所求面积S?ABC??11??22224C
A
B
【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键.
题型2.求非线性目标函数的最大（小）值
?x?y?2?0
2y?1?22例3. 已知?x?y?4?0，求：（1）z?x?y?10y?25的最小值;（2）z?的范
x?1?2x?y?5?0?围．
【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解
【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
（1）z?x2?(y?5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是MN?1y?(?)2表示可行域内任一点(x,y)到定点Q(?1,?1)连线斜率的两倍； （2）z?2?2x?(?1)7337因为kQA?，kQB?．故z的取值范围为[,]．
4842【名师指引】求非线性目标函数的最大（小）值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式. 【新题导练】
1. 图中阴影部分是下列不等式中( )表示的平面区域.
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3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典公开课教案及练习解答)
