高中数学第一章解三角形1.1习题课正弦定理和余弦定理的综合应用课时作业含解析新人教A版必修5

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形：

课时作业3 正弦定理和余弦定理的综合应用

时间：45分钟

——基础巩固类——

一、选择题

1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( B ) A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形

解析：最长线段为7，且5＋6>7，因此能构成三角形．∵52＋62－72＝12>0，由余弦定理知，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三角形．

2．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则B等于( D ) A．105° C．15°

ca解析：由正弦定理＝，得

sinCsinA10522＝，sinC＝. sinCsin30°2

∵a

再由A＋B＋C＝180°，求出B＝105°或B＝15°.

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( D )

1A．－

2C．－1

解析：根据正弦定理

ab＝＝2R， sinAsinB

1B. 2D．1 B．60° D．105°或15°

得a＝2RsinA，b＝2RsinB，

于是acosA＝bsinB可化为sinAcosA＝sin2B. 故sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.

1

4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB

4＝( B )

6

15A. 16C.15 8

B.15 4

7D. 8

解析：由已知根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，∴c＝2，即B＝C.∴sinB＝1151－＝. 164

5．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( A ) πA．0

6ππC.

π

B．0

6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )

解析：设等腰三角形的顶角为α，底边长为a，则周长为5a. 所以该等腰三角形的腰长为2a.

?2a?2＋?2a?2－a27

由余弦定理可知cosα＝＝.

2·2a·2a8二、填空题

7．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝60°，则角C的大小为90°. ab33

解析：∵由正弦定理得＝，从而＝，

sinAsinB3sinB

21

即sinB＝，∴B＝30°或B＝150°.

2由a>b可知B＝150°不合题意，∴B＝30°. ∴C＝180°－60°－30°＝90°.

8．在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB61＋abcosC的值为. 2

解析：由余弦定理得bccosA＋accosB＋abcosC b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2＝＋＋ 222a2＋b2＋c232＋42＋6261＝＝＝. 222

a

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝3，

b

6

则角C的值为90°.

解析：由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a21

∴cosA＝＝，

2bc2

asinA

∴A＝60°，又＝3，∴＝3，

bsinB∴sinB＝

3331sinA＝×＝， 3322

∵B<180°－60°＝120°，

∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°. 三、解答题

10．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求a的值； π

A＋?的值． (2)求sin??4?

解：(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB， a2＋c2－b2

由正、余弦定理可得a＝2b·，

2ac因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，从而a＝23. (2)由余弦定理得

b2＋c2－a29＋1－121cosA＝＝＝－，

2bc63由于0

1－cos2A＝122

1－＝， 93

πππ

A＋?＝sinAcos＋cosAsin 故sin??4?44222?1?24－2

－＝×＋?3?×＝.

3226

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，1

且ac＝b2.

4

5

(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；

4(2)若角B为锐角，求p的取值范围．

5

?a＋c＝4，解：(1)由题设及正弦定理，得?1

ac＝?4.

6

1???a＝1，?a＝4，

解得?1或?

???c＝4?c＝1.

11(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－b2－b2cosB，

2231

即p2＝＋cosB.

22

3?

因为00，所以

6

——能力提升类——

12．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( A ) π0，? A.??3?π0，? C.??6?

π?

B.??3，π? π?D.??6，π?

a2＋c2－b2

解析：由余弦定理及b2＝ac，得cosB＝ 2ac?a－c?2＋ac?a－c?211＝＝＋≥. 2ac2ac22π

0，?. ∵0

13．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为边BC上的一点，且BD＝BC，

2则AD的长为( C )

A．4(3－1) C．4(3－3)

B．4(3＋1) D．4(3＋3) 3－1→3－13－1→

解析：由BD＝BC，得BD＝BC＝×8＝43－4.在△ABC中，由正弦

2228AB

定理，得＝.于是AB＝83－8.在△ABD中，由余弦定理，可得AD＝4(3－3)，

sin75°sin45°故选C.

14．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝2，∠A的平分线AD＝3，则AC＝6. 解析：在△ABD中，由正弦定理可知 ADAB32

＝，即＝，

sin120°sin∠BDA3sin∠BDA

2

6

所以sin∠BDA＝

2

2

，即∠BDA＝45°，所以∠BAD＝15°. 又因为AD为∠A的平分线，

所以∠BAC＝30°，∠BCA＝30°，即AB＝BC＝2， 由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝2＋2－2×2×2×??－1

2??＝6， 所以AC＝6.

15.如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.

(1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－

714，sin∠CBA＝216

，求BC的长． 解：(1)在△DAC中，由余弦定理，得

cos∠CAD＝AD2＋AC2－CD21＋7－427

2AD·AC＝2×1×7＝7，

所以cos∠CAD＝27

7.

(2)因为∠BAD为四边形内角， 所以sin∠BAD>0，且sin∠CAD>0， 所以sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝

321

14

， sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝

217

， 所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ＝

3212714×7－?213?－7

14??×7

＝3337＋14＝2， 在△ABC中，由正弦定理，得

ACsin∠CBA＝BC

sin∠BAC

，

6