研究函数的性质
1．讨论函数的单调性
1.1已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax+1 ，讨论函数 f(x) 的单调性。 分析：参数 a 的取值会影响 f ′(x) 的符号，所以应对参数 a 进行分类讨论。
解：f(x) 的定义域为（0，+∞），则f ′(x)=（a+1）/x+2ax=（2ax+a+1）/x。
（1）当a≥0时，f ′(x)＞0，故 f(x)在（0，+∞）单调递增； （2）当 a≤-1时，f ′(x) ＜0，故 f(x) 在（0，+∞）单调递减； （3）当 -1
故 f(x) 在 (0, ?(a?1)/2a) 单调递增，在(?(a?1)/2a, +∞) 单调递减。
1.2讨论和研究函数的单调性和单调区间，就是解 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0 ，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间。一般对于可导函数而言，其解题步骤如下：首先求f( x )的 定 义 域 同，然后求出 f
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′( x )；最后解不等式f ′( x )>0 或 f ′( x )<0，这样就可以得到在单调区
间内的单调性。
2．求函数的极值和最值
2.1已知函数y=f(x)=lnx/x。 （1）求y=f(x) 的最大值；
（2）设实数 a>0 ，求函数 F(x)=af(x) 在 [a,2a]上的最小值。
分析：最值是所有极值和端点值中最大和最小值，求最值须先求极值。 解 （1）假设 f ′(x)=0 ，可得x=e。
当x∈(0,e) 时，f′(x)>0 ，那么f(x) 在 (0,e) 上为增函数； 当x∈(e,+∞) 时，f ′(x)<0 ，那么f(x) 在 (e,+∞) 上为减函数。 因此fmax(x)=f(e)=1/e。
（2）∵a>0 ，由（1）知：F(x) 在 (0,e) 上单调递增，在 (e,+∞) 上单调递减，
∴ F(x) 在[a,2a]上的最小值为 min{F(a),F(2a)}； ∵F(a)-F(2a)=1/2lna/2，
∴当 0
2.1利用导数求函数在定义域范围内的最值时，一般是先利用函数的导数求得极值，再通过解不等式得到最大值或最小值。
研究函数的性质
