章节 第八章空间解析几何与向量代数 §1 向量及其线性运算 课时 4 教 学 目 的 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。建立空间直角坐标系及空间点的坐标，掌握空间两点间的距离公式。掌握向量的概念、向量的加减法及向量与数的乘法。掌握向量的坐标表示法，会求向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 教学 重点 及 突出 方法 空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法。通过力学中的力的加减法引入向量的加减法的概念及运算法则。向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影的概念及计算。 教学 难点 及 突破 方法 空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法，两个向量平行的充分必要条件。在建立空间直角坐标系后，我们就可以建立三维空间的最基本的几何元素――点与有序数组之间的联系，从而可以用代数方法来研究几何问题。对于向量的运算（加、减、数乘、模，方向余弦及将要学习的内积，向量积）就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。向量在坐标轴上的投影及性质。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P1-P9 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P400-P402
教 教学思路、主要环节、主要内容 空间直角坐标系 空间点的直角坐标 学 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴 分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正过 向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。坐标 为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z)。注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征。 程 设M(x,y,z)、M(x,y,z)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 11112222空间两点间的距离 M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量及其加减法及向量与数的乘法 一、向量的基本概念 。 向量（或称矢量），自由向量，向量相等，向量的模，反向量，平行向量，单位向量，零向量。 二、向量的加减法 1.向量的加法 (1)向量加法的平行四边形法则； (2)向量加法的三角形法则； (3)向量加法的多边形法则（又称折线法）。 2.向量的减法 （1）负向量 (2) 作向量b与a的差b3．向量加法的性质（运算律） ①交换律 ②结合律 注意：a边。 ?a。 ?b的模一般地不等于a的模加b的模，而有a?b?a?b，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法 1、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于（若m<0）。 2、向量与数量乘法的性质(运算律) ①结合律 ②分配律 3、定理：设向量ama，方向与a相同（若m>0）或与a相反?0，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。 在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量），可在一般原则下作特别处理。 教 教学思路、主要环节、主要内容 学 向量的坐标 一、向量在轴上的投影 1．介绍轴上有向线段的值及两向量的夹角的概念 2．点在轴上的投影定义：已知一点A及一轴u，过A作垂直于u的平面α，该平面与轴u的/交点A称为点A在轴u上的射影。 3. 投影向量的定义：向量AB的始点A与终点B在轴u上的投影为点A，B，则A?B?就定义//过 为矢量AB在轴u上的投影向量。 4. 向量在轴上的投影：向量A?B?在轴u的长度，称为向量AB在轴u上的投影，记为投影 PrjuAB。 5. 向量在轴上的投影性质： ：PrjAB=ABcos?，其中?为轴u与向量AB的夹角。 程 性质1（投影定理）推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。 性质2：Prj(a1?a2)=Prja1+Prja2。性质2可推广到有限个向量的情形。 性质3：Prjuλa=λPrjua。 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 分向量的定义：向量a在坐标轴上的投影向量axi,ayj,azk称为向量在坐标轴上的分向量。 向量的坐标：向量a在三条坐标轴上的投影ax,ay,az叫做向量的坐标，记为：a={ax,ay,az} 由向量在轴上的投影定义，a在直角坐标系Oxyz中的坐标{ax,ay,az}就是a，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。 利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下： a={ax,ay,az}，b?{bx,by,bz} 利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有 a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}；a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz} ?a?{?ax,?ay,?az} 由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。 向量的模与方向余弦的坐标表示式 向量的模：a?22ax?ay?az2 方向余弦：cos??axa?a?a2x2y2z，cos??aya?a?a2x2y2z，cos??aza?a?a2x2y2z 且方向余弦的平房和等于1。 与非零向量a同方向的单位向量为：a?{cos?,cos?,cos?} 对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
0章节 第八章空间解析几何与向量代数 §2数量积、向量积 混合积 课时 2 教 学 目 的 掌握向量的数量积 向量积的概念，熟练掌握数量积、 向量积的运算及性质 教学 重点 及 突出 方法 向量数量积、 向量积的运算及性质 教学 难点 及 突破 方法 数量积、向量积的定义及计算。向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。学习中，我们要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中．但对几何向量，我们没有定义除法运算。同样，对向量的运算，式子a?b无意义。数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结果是数，向量积的结果是向量。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P19-P29 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P402-P417
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
