2007年研究生入学考试数学三试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与 （A）1?ex?x等价的无穷小量是
（B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
1?x（2）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （B）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ] （3）如图，连续函数
下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、
的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)? （A）F(3)???x0f(t)dt，则下列结论正确的是：
35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44（4）设函数f(x,y)连续，则二次积分（A）（C）
???2dx?1sinxf(x,y)dy等于
1?dy??01??arcsinyf(x,y)dx （B）?dy?010???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx
f(x,y)dx
?dy??01??arcsiny2f(x,y)dx （D）?dy??2（5）设某商品的需求函数为Q?160?2P，其中Q,P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是
(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线
y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （7）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则
(A) (C)
?1??2,?2??3,?3??1
(B) (D)
?1??2,?2??3,?3??1
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]
?2?1?1??100?????（8）设矩阵A??12?1,B?010，则A与B
??????1?12??000?????(A) 合同且相似（B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ]
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为目标的概率为
（A）3p(1?p). （B）6p(1?p).
22p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次击中
（C）3p(1?p). （D）6p(1?p) [ ] （10）设随机变量
2222?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在
Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为
(A) fX(x). (B) fY(y). (C) fX(x)fY(y). (D)
fX(x). [ ] fY(y)二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
x3?x2?1(sinx?cosx)? __________. （11） limx???2x?x3（12）设函数
y?1(n)，则y(0)?________.
2x?3（13） 设
?yx??z?z? __________. f(u,v)是二元可微函数，z?f?,?，则x?y?x?yxy??3dyy1?y?（14）微分方程????满足ydxx2?x??0?0?A?（15）设矩阵
?0??0（16）在区间
x?1?1的特解为y?________.
100??010?3
，则A的秩为 .
001??000??0,1?中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于
1的概率为 . 2三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)
设函数
y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.
（18） (本题满分11分)
?x2,|x|?|y|?1?1 设二元函数f(x,y)??，计算二重积分??f(x,y)d?，其中
,1?|x|?|y|?2D?x2?y2?D???x,y?|x|?|y|?2?.
（19） (本题满分11分)
设函数
f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，
f??(?)?g??(?).
证明：存在??(a,b)，使得（20） (本题满分10分)
1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间.
x2?3x?4（21） (本题满分11分)
将函数
f(x)??x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.
?2?x1?4x2?ax3?0（22） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵
A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记
B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B. （23） (本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2?x?y,0?x?1,0?y?1. f(x,y)??0,其他?（I）求P(II) 求Z?X?2Y?；
?X?Y的概率密度.
2007答案
1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x?0时，1?e?x11:?x，1?x?1:x，1?cosx:22??x2?1x， 2 故用排除法可得正确选项为（B）.
ln 事实上，lim?x?01?x111??1?xlimln(1?x)?ln(1?x)?lim1?x1?x2x?1，
x?0?1xx?0?x2xx.
或ln1?x?ln(1?x)?ln(1?x)?x?o(x)?x?o(x)?x?o(x):1?x所以应选（B）
【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. .
2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用
赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.
【详解】取f(x)?|x|，则limx?0f(x)?f(?x)?0，但f(x)在x?0不可导，故选（D）.
xf(0)?0.
事实上，
在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得
在（C）中，limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)存在，则f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0，所以(C)项正确，
x?0x?0xx?0x故选(D)
【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.
3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得
121121?1?3 F(3)??1??????，F(2)??2??，
2222?2?80211f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx??12??. 0?202233 所以 F(3)?F(2)?F(?2)，故选（C）.
442
F(?2)???2【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.
4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知， 故应选（B）.
【评注】本题为基础题型. 画图更易看出. 5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D）.
商品需求弹性的绝对值等于 故选（D）.
【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.
6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】limy?lim??ln1?ex???x???x? 所以
?2?x??,sinx?y?1，则0?y?1,??arcsiny?x??，
dQP?2P???1?P?40， dPQ160?2P?1?x?1????,limy?lim?ln1?e?0， ?????????x?xx???x???y?0是曲线的水平渐近线；
?1??ln?1?ex????，所以x?0是曲线的垂直渐近线；
x?0x?? limy?lim?x?0x1exx?ln?1?e?ln1?ex??yx1?e lim?lim?0?lim?lim?1，
x???xx???x???x???xx1 b?limy?x?lim??ln1?ex???x???x? 故选（D）.
???1?x?0，所以y?x是曲线的斜渐近线. ??x???【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近
线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x???,x???时的极限不同.
7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组?1,?2,?3构造的另一向量组?1,?2,?3的线性相关性. 一般令
x??1,?2,?3????1,?2,?3?A，若A?0，则?1,?2,?3线性相关；若A?0，则?1,?2,?3线性无关. 但
考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.
【详解】由
??1??2????2??3????3??1??0可知应选（A）.
或者因为
10?1?10?1???110??1??2,?2??3,?3??1????1,?2,?3????，而?110?0， ?0?11?0?11?? 所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，故选（A）. 【评注】本题也可用赋值法求解，如取?1（B），（C），??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?，以此求出（A），
TTT（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.
8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.
A的特征值，并考虑到实对称矩阵A??2【详解】 由
111??(??3)2可得?1??2?3,?3?0，
?E?A?11??21??2 所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.
所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）. 【评注】若矩阵
A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.
所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）.
9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝ ?C3p(1?p)p?3p(1?p)， 故选（C）. 【评注】本题属基本题型.
10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式
1222fX|Y(x|y)?【详解】因为
f(x,y)可求解.
fY(y)fX(x)fY(y).
?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y)?f(x,y)fX(x)fY(y)??fX(x)，应选（A）.
fY(y)fY(y)故fX|Y(x|y)?【评注】若
?X,Y?服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的.
11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.
x3x21?x?xxx3?x2?1222?0?0,|sinx?cosx|?2， 【详解】因为lim?limx???2x?x3x???x311?x2x3?x2?1(sinx?cosx)?0. 所以limx???2x?x3【评注】无穷小的相关性质：
（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.
考研数学三真题及完整解析
