∴AE=2． 当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5． 点评： 本题考查了反比例函数k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式．也考查了二次的顶点式及其最值问题． 25．（10分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=． （1）求⊙O的半径长； （2）求线段CF长．
考点： 切线的性质；垂径定理；解直角三角形． 专题： 计算题． 分析： （1）过O作OH垂直于AC，利用垂径定理得到H为AC中点，求出AH的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA的长； （2）由AB垂直于CD得到E为CD的中点，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC的长以及tanA的值求出CE与AE的长，由FB为圆的切线得到AB垂直于BF，得到CE与FB平行，由平行得比例列出关系式求出AF的长，根据AF﹣AC即可求出CF的长． 解答： 解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=AC=4， 在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=， ∴OH=3， ∴半径OA==5； （2）∵AB⊥CD， ∴E为CD的中点，即CE=DE， 在Rt△AEC中，AC=8，tanA=， 设CE=3k，则AE=4k， 22222根据勾股定理得：AC=CE+AE，即9k+16k=64， 解得：k=， 则CE=DE=，AE=，
∵BF为圆O的切线， ∴FB⊥AB， 又∵AE⊥CD， ∴CE∥FB， ∴=，即， =， 解得：AF=则CF=AF﹣AC=． 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 26．（12分）（2013?江都市模拟）已知 A、B两地相距630千米，在A、B之间有汽车站C站，如图1所示．客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的．图2是客、货车离C站的路程y1、y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）求客、货两车的速度；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）求E点坐标，并说明点E的实际意义．
考点： 一次函数的应用． 分析： （1）设客车的速度为a km/h，则货车的速度为km/h，根据题意列出有关v的一元一次方程解得即可； （2）根据货车两小时到达C站，可以设x小时到达C站，列出关系式即可； （3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，即客车追上了货车．
解答： 解：（1）设客车的速度为a km/h，则货车的速度为9a+×2=630， km/h，由题意列方程得： 解之，a=60， ∴=45， 答：客车的速度为60 km/h，货车的速度为45km/h （2）方法一：由（1）可知 P（14，540）， ∵D （2，0）， ∴y2=45x﹣90； 方法二：由（1）知，货车的速度为45km/h， 两小时后货车的行驶时间为（x﹣2）， ∴y2=45（x﹣2）=45x﹣90， （3）方法一：∵F（9，0）M（0，540）， ∴y1=﹣60x+540， 由， 解之， ∴E （6，180） 点E的实际意义：行驶6小时时，两车相遇，此时距离C站180km； 方法二：点E表示两车离C站路程相同，结合题意，两车相遇， 可列方程：45x+60x=630， x=6， ∴540﹣60x=180， ∴E （6，180）， 点评： 本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题． 27．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE= 5﹣t ．
（2）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．
（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形． 考点： 相似形综合题． 分析： （1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可； （2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值； （3）利用菱形的性质得到． 解答： 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． ∴由勾股定理得：AB=10cm， ∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s， ∴BP=2tcm， ∴AP=AB﹣BP=10﹣2t， ∵四边形AQPD为平行四边形， ∴AE==5﹣t； （2）当?AQPD是矩形时，PQ⊥AC， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC ∴即解之 t=∴当t= 时，?AQPD是矩形； （3）当?AQPD是菱形时，DQ⊥AP， 则 COS∠BAC=即 解之 t=∴当t= 时，□AQPD是菱形． = 点评： 本题考查了相似形的综合知识，正确的利用平行四边形、矩形、菱形的性质得到正方形是解决本题的关键．
28．（14分）（2012?漳州二模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线
与x
经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点
A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由． （3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒
个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同．
①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？
②是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题；动点型． 分析： （1）由直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标． （2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90°从而得∠OMB=90°．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值． （3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15﹣3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=﹣时对应的S的值即可求出此时的最大值． ②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．
2016中考数学模拟试题含答案(精选5套)
