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第三章 课后习题及解答
将1，2题中的向量?表示成?1,?2,?3,?4的线性组合：
1．???1,2,1,1?,?1??1,1,1,1?,?2??1,1,?1,?1?,?3??1,?1,1,?1?,?4??1,?1,?1,1?.
TTTTT2．???0,0,0,1?,?1??1,1,0,1?,?2??2,1,3,1?,?3??1,1,0,0?,?4??0,1,?1,?1?.
解：设存在k1,k2,k3,k4使得??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4，整理得
解得k1?5111,k2?,k3??,k4??. 44445111?1??2??3??4. 4444所以??设存在 k1,k2,k3,k4使得??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4，整理得
k1?2k2?k3?0，k1?k2?k3?k4?0，
3k2?k4?0，k1?k2?k4?1.
解得 k1?1,k2?0,k3??1,k4?0. 所以???1??3. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ?1??1,1,1?,?2??0,2,5?,?3??1,3,6?.
TTT4. ?1?(1,?1,2,4)T,?2??0,3,1,2?，?3??3,0,7,14?.
TT解：
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3.设存在 k1,k2,k3使得k1?1?k2?2?k3?3?0，即
101?k1?k3?0??k1?2k2?3k3?0 ，由123?0，解得k1,k2,k3不全为零， ?k?5k?6k?015623?1故?1,?2,?3线性相关.
4.设存在 k1,k2,k3使得k1?1?k2?2?k3?3?0，即
?k1?3k3?0??k?3k?0?12可解得k1,k2,k3不全为零，故?1,?2,?3线性相关. ?2k?k?7k?023?1??4k1?2k2?14k3?0（a1,a2,?,an）5.论述单个向量??线性相关和线性无关的条件.
解：设存在k使得k??0，若??0，要使k??0，当且仅当k?0，故，单个向量线性
（a1,a2,?,an）无关的充要条件是??0；相反，单个向量??线性相关的充要条件是
??0.
6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组?1,?2,?,?n?1,?n线性无关，利用反证法，
假设存在该向量组的某一部分组?i1,?i2,?,?ir(ir?n)线性相关，
则向量组?1,?2,?,?n?1,?n线性相关，与向量组?1,?2,?,?n?1,?n线性无关矛盾， 所以该命题成立.
7.证明：若?1,?2线性无关，则?1??2,?1??2也线性无关.
证：方法一，设存在k1,k2使得k1(?1??2)?k2(?1??2)?0，
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整理得，(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?0，
因为?1,?2线性无关，所以??k1?k2?0，可解得k1?k2?0，
?k1?k2?0故?1??2,?1??2线性无关.
?（?1??2,?1??2）?方法二，因为（?1,?2）??11??， ??1?1?又因为
111?1??2?0，且?1,?2线性无关，所以向量组?1??2,?1??2的秩为2，
故?1??2,?1??2线性无关.
8.设有两个向量组?1,?2,?,?s和?1,?2,?,?s,其中
?1,?2,?,?s是分别在?1,?2,?,?s的k个分量后任意添加m个分量b1j,b2j,?,bmj
(j?1,2,?,s)所组成的k?m维向量，证明：
(1) 若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s线性无关； (2) 若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s线性相关.
证：证法1，(1)设A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，因为?1,?2,?,?s线性无关，所以齐次线性方程AX?0只有零解，即r(A)?s, 且r(B)?s，?1,?2,?,?s线性无关.
证法2，因为?1,?2,?,?s线性无关，所以齐次线性方程AX?0只有零解，再增加方程的个数，得BX?0，该方程也只有零解，所以?1,?2,?,?s线性无关.
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居余马线性代数第三章课后习题
