第二部分 专题六 类型二
1．(2024·创新同盟联考)已知抛物线y＝a(x－m)＋2m(m≠0)经过原点，其顶点为P，与x轴的另一交点为A.
(1)P点坐标为m， 2m)；A点坐标为(2m， 0)；(用含m的代数式表示)
(2)求出a，m之间的关系式；
(3)当m＞0时，若抛物线y＝a(x－m)＋2m向下平移m个单位后经过(1,1)，求此抛物线的表达式；
(4)若抛物线y＝a(x－m)＋2m向下平移|m|个单位后与x轴所截的线段长，与平移前相比有什么变化？请直接写出结果．
解：(1)P(m,2m)，A(2m,0)．
(2)将x＝0，y＝0代入y＝a(x－m)＋2m得 am＋2m＝0，∵m≠0, ∴am＋2＝0，
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am＝－2，a＝－.
m(3)当m＞0时， 抛物线y＝a(x－m)＋2m向下平移m个单位后：y＝a(x－m)＋m， 由于经过(1,1)，∴a(1－m)＋m＝1，am－2am＋a＋m＝1，又am＝－2， 所以a＝m－3代入am＝－2，
解得a1＝－1, m1＝2；a2＝－2, m2＝1.
此时抛物线的关系式为y＝－(x－2)＋4或y＝－2(x－1)＋1. (4)与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的
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或倍． 22
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说明：①当m＞0时，则a＜0，原抛物线y＝a(x－m)＋2m经过原点，
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故可化为y＝ax－2amx，向下平移m个单位后为y＝ax－2amx－m，(am＝－2，a＝－)
m平移前：d＝2m，平移后：d′＝|x1－x2|＝2m，
②当m＜0时，则a＞0，原抛物线y＝a(x－m)＋2m经过原点，
故可化为y＝ax－2amx，向下平移－m个单位后为y＝ax－2amx＋m，(am＝－2，a＝－2
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m)
平移前：d＝－2m，平移后：d′＝|x1－x2|＝－6m， ∴与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的
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或倍． 22
1
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(0,4)，
2
B(2,0), C(－2,0)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在x轴上另有一点D(－4,0)，将二次函数图象沿着DA方向平移，使图象再次经过点B；
①求平移后图象的顶点E的坐标；
②求图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积． 解：(1)根据抛物线经过三点的坐标特征， 可设其解析式为y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)， 再代入点A(0,4)，解得a＝－1，
故二次函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－2)＝－x＋4(a≠0)． (2)经过点A(0,4)，D(－4,0)两点的直线DA， 其解析式为y＝x＋4.
①抛物线沿着DA方向平移后，
设向右平移了m个单位，则顶点E为(m，m＋4)， 此时抛物线的解析式可设为y＝－(x－m)＋(m＋4)， 将点B(2,0)代入，得0＝－(2－m)＋m＋4， 解得m1＝0(舍去)，m2＝5； 顶点E为(5,9)，
②如答图1，根据抛物线的轴对称性与平移的性质，A，B之间的曲线部分所扫过的面积显然等于平行四边形ABFE的面积，也等于2个△ABE的面积．
解法一：如答图2，过点E作EK⊥y轴于点K，
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2
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S△ABE＝S梯形OBEK－S△AOB－S△AKE＝(2＋5)×9－×4×2－×5×5＝15，
图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为2S△ABE＝30.
解法二：如答图2，过点E作EK⊥y轴于点K，过点B作BM⊥x轴交KM于点M，过点A作AN⊥y轴交BM于点N(将△ABE的面积水平与铅直分割——一种面积的常规分割法则)．
1
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2
直线BM的解析式是x＝2，与DA直线y＝x＋4相交得到点G为(2,6)， 11
所以线段BG＝6，S△ABE＝S△AGB－S△EGB＝×6×2＋×6×3＝15，
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所以图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为2S△ABE＝30. 3．如图，抛物线C1：y1＝ax＋2ax(a＞0)与x轴交于点A，顶点为点P.
(1)直接写出抛物线C1的对称轴是直线x＝－1，用含a的代数式表示顶点P的坐标 (－1，－a)；
(2)把抛物线C1绕点M(m,0)旋转180°得到抛物线C2(其中m＞0)，抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q.
①当m＝1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a＝3时矩形
2
APBQ的面积．
解：(1)∵抛物线C1：y1＝ax＋2ax＝a(x＋1)－a，∴对称轴是直线x＝－1，顶点P坐标为(－1，－a)．
(2)①由旋转知，MA＝MB，
当y1＝0时，x1＝－2，x2＝0，∴A(－2,0)， ∴AO＝2.
∵M(1,0)，∴AM＝3，∴AB＝2MA＝2×3＝6； ②存在．∵A(－2,0)，AB＝6，∴B(4,0)． ∵A(－2,0)，P(－1，－a)， ∴AP＝1＋－a2
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＝1＋a，BP＝25＋a.
2
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当AB＝AP时，1＋a＝6，解得a＝35(负值已舍去)； 当AB＝BP时，25＋a＝6，解得a＝11(负值已舍去)；
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3
当AP＝BP时，1＋a＝25＋a，不成立， 即当a取35或11时，△ABP为等腰三角形． ③如答图，过点P作PH⊥x轴于H，
∵点A与点B，点P与点Q均关于M点成中心对称，故四边形APBQ为平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形APBQ为矩形，此时△APH∽△PBH，∴
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AHHPHP1a＝，即＝， BHa2m＋3
1232
∴a＝2m＋3，∴m＝a－.
22132
当a＝3时，m＝×3－＝3，
22∴S＝(2m＋4)a＝(2×3＋4)×3＝30.
4．(2024·赣南模拟)如图，抛物线C1：y＝x＋bx＋c经过原点，与x轴的另一个交点为(2,0)，将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.
(1)求抛物线C1的解析式以及顶点坐标；
(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当顶点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，使得△PAC为等边三角形，求m的值．
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解：(1) ∵抛物线C1经过原点(0,0)及(2,0)，
??c＝0，
∴???4＋2b＋c＝0，
??b＝－2，
解得 ?
??c＝0.
2
抛物线C1的解析式为y＝x－2x＝(x－1)－1. 其顶点坐标为(1，－1)．
(2)设抛物线C2的解析式为y＝(x－1－m)－1， 则其对称轴DE为x＝m＋1(m>0)，
化简y＝(x－1－m)－1＝x－2(m＋1)x＋(m＋1)－1， 设抛物线C2与y轴交于点C(0，c)， 则c＝(1＋m)－1＝m＋2m.
4
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2
过点C作CH⊥DE于点H，如答图1， ∵△ACD为等腰直角三角形， ∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
∴∠CDH＋∠ADE＝90°，∴∠HCD＝∠ADE. ∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA， ∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m＋1， ∴EH＝HD＋DE＝1＋m＋1＝m＋2. 由 OC＝EH得 m2
＋2m＝m＋2，
解得 m1＝1，m2＝－2(不合题意，舍去)， ∴抛物线C2的解析式为y＝(x－2)2
－1.
图1 图2
(3)如答图2，连接BC，BP，由抛物线对称性可知 AP＝BP， 则点A(m,0)，对称轴DE为直线x＝m＋1(m>0)， ∴点B的坐标为(m＋2,0)． ∵△ACP为等边三角形， ∴AP＝CP＝BP，∠APC＝60°.
∴C，A，B三点在以P为圆心PA为半径的圆上， ∴∠CBO＝11
2∠CPA＝2×60°＝30°，∴BC＝2OC，
∴根据勾股定理得OB＝BC2
－OC2
＝3OC， ∴3(m2
＋2m)＝m＋2， 解得m3
1＝3
，m2＝－2(不合题意，舍去)， ∴m＝33
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江西专用2024中考数学总复习第二部分专题综合强化专题六二次函数的综合探究压轴题类型2针对训练
