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空间向量与平行关系
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若 l∥α,则a,b应满足的关系式为( )
A.3a+b+6=0 B.a=3b C.3a-b+6=0 D.a=-3b 2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m的值为( )
A.4 B.-4 C.-2 D.2
3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )
①a=(,1,0),b=(-2,-4,0); ②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ③a=(5,0,2),b=(0,1,0); ④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( )
A.AD B.A1C1 C.EB1 D.EA1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( ) A.相交 B.平行
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C.垂直 D.不能确定 二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-,k),若α∥β,则k等于 .
7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为 .
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是 . 三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0, ∴3a+b+6=0.
2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.
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3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法. 【解析】选A.①a=-b,∴l1∥l2,排除B,C,②a=-2b,∴l1∥l2,故选A.
【变式备选】设u,v分别是不同的平面α,β的一个法向量,根据下列条件能判断α∥β的是 . ①u=(-1,1,-2),v=(3,2,-); ②u=(0,0,3),v=(0,0,-2); ③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).
【解析】判断两个法向量是否平行即可. ①∵u=kv的k值不存在,∴u与v不平行; ②∵u=-v,∴u∥v,∴α∥β;
③∵u=kv的k值不存在,∴u与v不平行. 答案:②
4.【解析】选D.如图所示,建立直角坐标系Axyz, 设AB=1,则C(1,1,0),E1(,,1),∴=(-,-,1).
又A1(0,0,1),E(,,0), ∴
=(-,-,1),故
∥
,又CE1与EA1不重合,故选D.
5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选B1或C1为原点,求M,N的坐标是解题关键.
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【解析】选B.以C1为原点,以,,所在直
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图, ∴N(,,a), M(a,,), ∴
=(-,0,).
而平面B1BCC1的一个法向量为n=(0,1,0), ∴
·n=0.又MN?平面B1BCC1,
∴MN与平面B1BCC1平行.
6.【解析】∵α∥β,∴(3,2,-1)=λ(-2,-,k), ∴λ=-,λk=-1,∴k=. 答案:
7.【解析】∵m∥l,∴a=(3,2,-1)也是直线m的方向向量,又|a|=∴所求的向量为±(-,-,,
). ,-)或(-,-,
)
(3,2,-1),即m的单位方向向量为(
,, ,-)或
答案:(
8.【解析】根据题意得D1(0,0,1),E(1,1,),F(,0,0), ∴
=(,0,-1),
=(1,1,-).
设平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),则:
取z=2k(k≠0),则x=4k,y=-3k,
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空间向量与平行关系-课时作业
