1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
1、集合部分
2019A 2、若实数集合?1,2,3,x?的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 ． ◆答案：?3 2★解析：假如x?0，则最大、最小元素之差不超过max?3,x? ，而所有元素之和大于
3max?3,x?，不符合条件．故x?0，即x为最小元素．于是3?x?6?x，解得x??。
2
2019B1. 若实数集合?1,2,3,x?的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 ． ◆答案：?3
★解析：条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然?0，从而
1?2?x?0，得x??3．
1,2,3,?,99?，集合B??2x|x?A?，集合C??x|2x?A?，则集合2018A1、设集合A??B?C的元素个数为
◆答案：24
★解析：由条件知，B?C??2,4,6,?,48?，故B?C的元素个数为24。
2018B1、设集合A??2,0,1,8?，集合B??2a|a?A?，则集合A?B的所有元素之和是 ◆答案： 31
★解析:易知B??4,0,2,16?，所以A?B??0,1,2,4,8,16?，元素之和为31.
1,2,?,n?，X,Y均为A的非空子集(允许X?Y)．X2018B三、(本题满分50分)设集合A??中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX,minY．求满足maxX?minY的有序集合对
(X,Y)的数目。
★解析:先计算满足maxX?minY的有序集合对(X,Y)的数目.对给定的m?maxX，集合
m?11,2,?,m?1?的任意一个子集与?m?的并，故共有2种取法.又m?minY，故YX是集合?n?1?m是?m,m?1,m?2,?,n?的任意一个非空子集，共有2?1种取法. 因此，满足maxX?minY的有序集合对(X,Y)的数目是：
??2?2m?1m?1nn?1?m?1??2??2m?1??n?1??2n?1
nm?1m?1??nn由于有序集合对(X,Y)有2n?12n?1?2n?1个，于是满足maxX?minY的有序集合对(X,Y)的数目是2n?1?n?2n?2n?1?4n?2n?n?1?
?2017B二、(本题满分40分)给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A1,A2,?,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d(可以相同)，满足ab?cd?m．
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??????2??2★证明：取k?m?1，令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?}，i?1,2,L,m?1 设a,b,c,d?Ai，则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)，
故m?1ab?cd，而m?1m，所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d，满足ab?cd?m
1,2,3,4,5?，b1,b2,?,b20??1,2,3,?,10?，2017B四、(本题满分50分)。设a1,a2,?,a20??集合X?(i,j)|1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0，求X的元素个数的最大值。 ★解析：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,L,a20,b1,b2,L,b20)
对k?1,2,L,5，设a1,L,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当ai?aj时，
55??(i,j)?X，因此至少有?C个(i,j)不在X中，注意到?tk?20，则柯西不等式，我们
k?12tkk?1555111512022?1)?30 有?C??(?tk??tk)??((?tk)??tk)??20?(22525k?1k?1k?1k?1k?12从而X的元素个数不超过C20?30?190?30?160
2tk5另一方面，取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k(k?1,2,L,5)，bi?6?ai(i?1,2,L,20)， 则对任意i,j(1?i?j?20)，有
(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)2?0
22等号成立当且仅当ai?aj，这恰好发生5C4?30次，此时X的元素个数达到C20?30?160
综上所述，X的元素个数的最大值为160.
2016B四、(本题满分50分)设A是任意一个11元实数集合．令集合B??uv|u,v?A,u?v?求
B的元素个数的最小值．
★解析：记A??a1,a2,?,a11?，不妨设a1?a2???a11 ①若ai?0?1?i?11?恒成立；由于a1a2?a2a3?a2a4???a2a11?a3a11???a10a11，
这里显然可以发现有18个数在B中，即B?18
②若a1?a2???ak?0?ak?1?ak?1???a11，其中k?5时，由于
akak?1?akak?2???aka11?ak?1a11?ak?2a11???a2a11?a1a11有10个非负数；
又ak?2ak?3?ak?2ak?4???ak?2a11?ak?3a11?ak?4a11???a10a11有17?2k个正数， 故此时，B?10?17?2k?27?2k?17，当k?5时，Bmin?17，如
A?0,?1,?2,?22,?23,?24，B?0,?1,?2,?22,?23,?24,?25,?26,?27,?28满足； ③若a1?a2???ak?0?ak?1?ak?1???a11，其中k?6时，由于
akak?1?akak?2???aka11?ak?1a11?ak?2a11???a2a11?a1a11有10个非负数；
又a1?a2???a6?0，则a5a6?a5a4?a5a3?a5a2?a5a1?a4a1?a3a1?a2a1有8个正数，
故此时，B?10?8?18
④若ai?0?1?i?11?恒成立；同①显然可以发现有18个数在B中，即B?18； 综上。B的元素个数的最小值为17.
2015AB10、(本题满分20分)设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得
?????aaij31??|1?i?j?4????24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值。
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★解析：由条件可知，aiaj(1?i?j?4)是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，a1,a2,a3,a4的绝对值互不相等，不妨设|a1|?|a2|?|a3|?|a4|，则
|ai||aj|(1?i?j?4)中最小的与次小的两个数分别是|a1||a2|及|a1||a3|，最大与次大的两
1?aa??,?128??个数分别是|a3||a4|及|a2||a4|，从而必须有?a1a3?1, 10 分
?a2a4?3,???a3a4??24,113,a3?,a4???24a1． 于是a2??8a1a1a2132故{a2a3,a1a4}?{?2,?24a1}?{?2,?}，15分
8a121结合a1?Q，只可能a1??．
41111由此易知，a1?,a2??,a3?4,a4??6或者a1??,a2?,a3??4,a4?6．
4242检验知这两组解均满足问题的条件． 故a1?a2?a3?a4??9． 20 分 4
2015A二、(本题满分40分)设S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n个互不相同的有限集合(n?2)，满足对任意的Ai,Aj?S,均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.证明：存在
1?i?nnn个集合(这里X表示有限集合X的元素个数)。 ki?1★证明：不妨设|A1|?k．设在A1,A2,L,An中与A1不相交的集合有s个，重新记为B1,B2,L,Bs，设包含A1的集合有t个，重新记为C1,C2,L,Ct．由已知条件，(BiUA1)?S，即(BiUA1)?{C1,C2,L,Ct}，这样我们得到一个映射 f:{B1,B2,L,Bs}?{C1,C2,L,Ct},f(Bi)?BiUA1． 显然f是单映射，于是，s?t． 10 分
设A1?{a1,a2,L,ak}．在A1,A2,???,An中除去B1,B2,L,Bs，C1,C2,L,Ct后，在剩下的
x??Ai，使得x属于A1,A2,?,An中至少
n?s?t个集合中，设包含ai的集合有xi个(1?i?k)，由于剩下的n?s?t个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个ai，从而 x1?x2?L?xk?n?s?t． 20 分
n?s?t不妨设x1?maxxi，则由上式知xi?，即在剩下的n?s?t个集合中，包含a1 的集
1?i?kkn?s?t合至少有个．又由于A1?Ci(i?1,2,???,t)，故C1,C2,L,Ct都包含a1，因此包含a1kn?s?tn?s?(k?1)tn?s?t?t??的集合个数至少为(利用k?2) kkkn?(利用s?t)． 40 分 k第3页 共12页
2015B 6、设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集A?(x,y)x2?y2?2(x?y)和
??B??(x,y)kx?y?k?3?0?，若A?B是单元集，则k的值为
◆答案： ?2?3 22★解析：点集A是圆周?:(x?1)?(y?1)?2，点集B是恒过点P(?1,3)的直线
l:y?3?k(x?1)及下方(包括边界)．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过
点P的圆?的一条切线．故圆?的圆心 M (1, l)到直线l的距离等于圆的半径2， 故
2014A 2、设集合?值为 ◆答案： 5?23
★解析：由1?a?b?2知，又
|k?1?k?3|k?12?2．结合图像，应取较小根k??2?3．
?3??b|1?a?b?2?中最大元素与最小元素分别为M,N，则M?N的?a?33?b??2?5，当a?1，b?2时，得最大元素M?5，a133M?m?5?23。当a?b?3时，得最小元素m?23。因此， ?b??a?23，
aa
1,2,?,100?，求最大的整数k，使得S有k个互不相同的2014A三、(本题满分50分)设S??非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的
最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。
★解析：对有限非空实数集A，用minA，maxA分别表示A中的最小元素和最大元素。 考虑S的所有包含1且至少有两个元素的子集，一共有299min?Ai?Aj??1?maxAi，故kmax?2?1。
99?1个，它们显然满足要求，因为
下面证明k?2时不存在满足要求的k个子集.我们用数学归纳法证明：对整数n?3，集合
99?1,2,?,n?的任意m(m?2n?1)个不同的非空子集A1,A2,?,Am中，存在两个不同的子集
Ai,Aj，满足Ai?Aj??，且min?Ai?Aj??maxAi①
n?1显然只需对m?2的情形证明上述结论。
1,2,3?的全部非空子集分成三组：第一组?3?,?1,3?,?2,3?；第二组?2?,?1,2?；第当n?3时，将?1,?1,2,3?。由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个是在同一组，取同组的两个子集三组??Ai,Aj，排在前面的记为Ai，则满足①；
n?1假设当n(n?3)时，结论①成立，考虑n?1时，若A1,A2,?,A2n中至少有2个子集不含
n?1，对其中的2n?1个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足①；若至多有2n?1?1个子集
n?1n?11,2,?,n?的不含n?1，则至少有2?1子集含n?1，将其中2?1子集去掉n?1，得到?2n?1?1个子集。
1,2,?,n?的全体子集可以分成2n?1组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述又由于?2n?1?1个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.
因此，相应地有两个子集Ai,Aj，满足Ai?Aj??n?1?，这两个子集显然满足结论①。
故n?1时结论也成立。 综上所述，所求k的最大值为299?1
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22013A1、设集合A??2,0,1,3?,集合B?x|?x?A,2?x?A，则集合B中所有元素的和为
◆答案：?5
★解析：易得B???3,?2,?1,0?，验证即可得B???3,?2?，所以所求为?2?3??5
??2008A B2、设A?[?2,4),B?x|x?ax?4?0，若B?A,则实数a的取值范围为( ) A. [?1,2) B. [?1,2] C. [0,3] D. [0,3) ◆答案： D
2aa2aa★解析：因为x?ax?4?0有两个实根 x1??4?，x2??4?，故B?A等价
24242?2?22aaaa于x1??2且x2?4，即?4???2且?4??4，解之得0?a?3． 2424
1,2,3,?,100?的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且2007*6、已知A与B是集合?A?B为空集，若n?A，则2n?2?B，则集合A?B的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 ◆答案：B
1,2,?,49?的任一个34元子★解析：先证A?B?66，只须证A?33，为此只须证若A是?集，则必存在n?A，使得2n?2?B。证明如下：
1,2,?,49?分成如下33个集合：?1,4?，?3,8?，?5,12?，…，?23,48?}共12个；?2,6?，将??10,22?， ?14,30?，?18,38?共4个；?25?，?27?，?29?，…，?49?共13个；?26?，?34?，?42?，?46?共4个。由于A是?1,2,?,49?的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合
中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n?A，使得2n?2?B。
1,3,5,?,23,2,10,14,18,25,27,29,?,49,26,34,42,46?, B??2n?2|n?A?，则如取A??A,B满足题设,且A?B?66。
2006*3、已知集合A??x|5x?a?0?，B??x|6x?b?0?，a,b?N，且
A?B?N??2,3,4?，则整数对(a,b)的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42
◆答案：C
★解析： 5x?a?0?x?ab；6x?b?0?x?。要使A?B?N??2,3,4?，则56?b1??2??6?b?12?611，即?。所以数对?a,b?共有C6C5?30。 ??20?a?25?4?a?5?5?
2004*三、(本题满分50分) )对于整数n?4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合?m.m?1,m?2,?,m?n?1?的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素。 ★解析：
⑴ 当n?4时，对集合M?m,n???m.m?1,m?2,?,m?n?1?，
当m为奇数时，m，m?1，m?2互质，当m为偶数时，m?1，m?2，m?3互质．即M的子集中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)?n． ①
取集合Tn??t|2|t,或3|t,t?n?1?，则T为M?2,n???2,3,?,n?1?的一个子集，且其中任3个
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全国高中数学联赛试题分类汇编1集合含答案(mathtype WORD精编版)
