专题3.2 导数与函数的单调性
1.了解函数的单调性与导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
知识点一 函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
考点一 求函数的单调区间
【典例1】【2019年高考天津】设函数f(x)?ecosx,间。
【解析】由已知，有f'(x)?e(cosx?sinx)．因此，当x??2k??xxg(x)为f?x?的导函数，求f?x?的单调区
???5??,2k???(k?Z)时，有44?()?0，得f'x则f?x?单调递减；当x??2k??sinx?cosx，
得f'(x)?0，则f?x?单调递增．
所以，f?x?的单调递增区间为?2k????3???,2k???(k?Z)时，有sinx?cosx，44???3???,2k???(k?Z),f(x)的单调递减区间为44??5???2k??,2k??(k?Z)． ??44??3ππ??,2kπ??(k?Z),f(x)的单调递减区间为【答案】f(x)的单调递增区间为?2kπ??44?π5π??2kπ?,2kπ?(k?Z). ??44??【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
【变式1】【2019年高考浙江】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?求函数f(x)的单调区间。
【解析】当a??3x?1,x?0.，当a??时，
433时，f(x)??lnx?1?x,x?0． 44f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)， ??4x21?x4x1?x所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+?）。 【答案】
f?x?的单调递增区间是
?3,???,单调递减区间是?0,3?；
考点二 判断函数的单调性
32【典例2】 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数f(x)?2x?ax?b，讨论f(x)的单调性；
2【解析】f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)．
令f?(x)?0，得x=0或x?若a>0，则当x?(??,0)a. 3?a??a??,??x?时，；当f(x)?0???0,?时，f?(x)?0．故f(x)在
3???3??a??a?(??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减；
?3??3?若a=0，f(x)在(??,??)单调递增； 若a<0，则当x????,??a??a??(0,??)x?时，；当f(x)?0??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在
3??3?a???a???,,(0,??)单调递增，在???,0?单调递减.
3???3?1【举一反三】 (2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋aln x，讨论f(x)的单调性．
x
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)， x2－ax＋11a
f′(x)＝－2－1＋＝－. xxx2①当a≤2时，则f′(x)≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＞2时，令f′(x)＝0， a－a2－4a＋a2－4
得x＝或x＝. 22
a－a2－4??a＋a2－4??
当x∈?0，?∪?，＋∞?时，
22????f′(x)＜0；
?a－a2－4a＋a2－4?
当x∈??时，f′(x)＞0. ，22??a－a2－4??a＋a2－4a－a2－4a＋a2－4????
所以f(x)在?0， ?，??上单调递增．，＋∞?上单调递减，在?，
2222??????a－a2－4??
综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在?0，?，
2??
?a＋a2－4?上单调递减，在?a－a2－4a＋a2－4?上单调递增．
???，＋∞?，222????
【方法技巧】含参函数单调性的求法
此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：
(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”．
(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”．
(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．
【变式2】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增. a－?. ②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln ??2?
?－a??时，f′(x)<0； 当x∈?－∞，ln??2???－a?，＋∞?时，f′(x)>0. 当x∈?ln??2???－a??上单调递减， 故f(x)在?－∞，ln??2???－a?，＋∞?上单调递增. 在区间?ln??2??
(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.
aaa3
－?时，f(x)取得最小值，最小值为f?ln?－??＝a2?－ln?－2??， ②若a<0，则由(1)得，当x＝ln????2???2??4
??
a3
－??≥0， 故当且仅当a2?4－ln??2???
3
即0>a≥－2e4时，f(x)≥0.
3
综上，a的取值范围是[－2e4，0]. 考点三 根据函数的单调性求参数
fx）【典例3】【2019年高考北京】设函数f?x??e?ae（a为常数）．若（为奇函数，则a=________；
x?x若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用f?(x)?0可得a的取 值范围。若函数f?x??e?ae为奇函数，则f??x???f?x?,即ex?x?x?aex???ex?ae?x?，
即?a?1?e? ex??x??0对任意的x恒成立，则a?1?0，得a??1.
x?xx?x若函数f?x??e?ae是R上的增函数，则f?(x)? e?ae?0在R上恒成立，
即a?e2x在R上恒成立， 又e2x?0，则a?0， 即实数a的取值范围是???,0. 【答案】?1????,0?
【方法技巧】由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
1
【变式3】(2016·全国Ⅰ卷改编)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范
3围是________.
2245
【解析】f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2 x＋acos x＋，f(x)在R上单调递
3333增，则f′(x)≥0在R上恒成立.
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令cos x＝t，t∈[－1，1]，则－t2＋at＋≥0在[－1，1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上
33恒成立.
令g(t)＝4t2－3at－5，
??g（1）＝4－3a－5≤0，11
则?解得－≤a≤.
33?g（－1）＝4＋3a－5≤0，?
11
－，? 【答案】??33?
2020年高考数学（理）一轮复习专题3.2 导数与函数的单调性（讲）（解析版）
