?当x??1?3时l?83?8；
当x?1?3时l?83?8．
综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1时，正方形的周长为
83?8．
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． 第26题图 解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得 第26题图(批卷教师用图) ?0＝36a－6b＋8?? 解得?0＝4a＋2b＋8? ? ?8?b＝－3 2a＝－ 3 28 ∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 33（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ EFBEEF8－m ＝ 即＝ ACAB108 40－5m∴EF＝ 4 4 过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 5∴ FG4440－5m＝ ∴FG＝·＝8－m EF554 11∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m） 22111 ＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （4）存在． 111 理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0， 222 ∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形． 9.（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax?bx?c的对称轴为x??2b） 2a （1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??2 13121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)， 1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得? ?16a?4b?4?0?b?1?3? 所以 所求的抛物线的解析式为y?? （2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB DQCDDQ210 即??,DQ? ABCA57710252525所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t? ?1?777725所以t的值是 7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 10QEDEQEDQDE 即 ???7?BOABAO45386620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，） 777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0) 8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ??m?24??411?x??824?2所以直线AQ的解析式为y? 联立? x?4141824?y?x???41411?x??128?2由此得? 所以M(,) 241824?y?x???4141则：在对称轴上存在点M( 10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）， OB＝OC ，tan∠ACO＝ 2128,)，使MQ+MC的值最小。 2411． 3（1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. yyEAOBxAOBxCDCDG （1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分 ?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ……………………2分 ?c??3??a?1?解得：?b??2 ……………………3分 ?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x?2x?3 ……………………3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………………1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ……………………2分 将C点的坐标代入得：a?1 ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x?2x?3 ……………………3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3 ∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3 ∴E点的坐标为（－3，0） ………………………4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，－3） ………………………5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?221?17 …………6分 2y1MRRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r）， ?1?17代入抛物线的表达式，解得r? ………7分 21?17?1?17∴圆的半径为或． ……………7分 22（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．……………8分 AMO1rrNBxD
二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）33956
