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勾股定理的证明
【证法1】
abba aacaa cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22， 整理得 a2?b2?c2.
【证法2】
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
1ab等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、
C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.
a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. H∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.
a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
aCbcFcbaB∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于?a?b?.
2∴
【证法3】
?a?b?21?4?ab?c22222. ∴ a?b?c. DbGFEaHC
cA[键入文字]
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
124?ab??b?a??c2∴ 2.
∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
1ab积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、CE、B三点在一条直线上.
222∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, D∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,
a∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. A∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
cbEcabB12c2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD∥BC.
1?a?b?2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1?a?b?2?2?1ab?1c222. ∴ 2∴ a?b?c.
【证法5】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
222[键入文字]
222222假设a?b?c，即假设 AC?BC?AB，则由
AB2?AB?AB=AB?AD?BD?=AB?AD?AB?BD
可知 AC?AB?AD，或者 BC?AB?BD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
22在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，
∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90o，
∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，∴ a2?b2?c2.
CabADcBAC2?BC2?AB2的假设不能成立.
勾股定理5种证明方法
