x?a?1
????2
其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。
每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为
?1,当x?l?sin? s(x,?)???0,其他
如果投针Ｎ次，则
1N sN?s(xi,?i)Ni?1
是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，
P?s(x,?)f1(x)f2(?)dxd?
?d?lsin?dx2l?? 0?0a?a
于是有
2l2l???
aPasN
七、方法的收敛性，误差
蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误差是普遍关心的一个重要问题。 1、收敛性
由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN的算术平均值：
1N XN?XiNi?1
作为所求解的近似值。由大数定律可知， 如X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），则
?? P?XN?E(X)??1?N???
即随机变量X的简单子样的算术平均值 ，当子样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期XN望值E(X)。 2、误差
蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即
??????lim 0??2?(x?E(X))2f(x)dx??
f(X)是X的分布密度函数。则
?N?1x?t2/2 ?P?X?E(X)?x?edtN???x2?N?? ???当N充分大时，有如下的近似式 ????2???t2/2?PX?E(X)??edt?1???N? 0N?2??其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
这表明，不等式
?? XN?E(X)?? N?1/2近似地以概率 1－α成立，且误差收敛速度的阶为 。 )O(N 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
?????
N
上式中 ? ? 与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 。??
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值
1N21N ???Xi?(Xi)2Ni?1Ni?1
?。 ?来代替，在计算所求量的同时，可计算出
八、蒙特卡罗方法的主要应用范围
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程)等领域应用广泛。
蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。
蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。
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【管理知识】计算材料学之蒙特卡洛方法论述(doc 7页)
