第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
教学目的： 将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念
2. 空间两点间的距离公式 3. 向量的概念 4. 向量的运算
教学难点： 1. 空间思想的建立
2. 向量平行与垂直的关系
教学内容：
一、向量的概念
1．向量： 既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向
量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向
量）。
2． 量的表示方法有 : a 、 i 、 F 、 OM 等等。 3． 向量相等 a
重合的向量） 。
4． 量的模： 向量的大小，记为
b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全
a 、 OM 。
模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5． 量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平
行。
6． 负向量： 大小相等但方向相反的向量，记为
二、向量的线性运算
1．加减法 a
a
b c ： 加法运算规律：平行四边形法则（有
7
b c
时也称三角形法则） ，其满足的运算规律有交换率和结合率见图 － 4
a
1
2． a b c 即 a ( b) c
3．向量与数的乘法
a ：设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为
| a |
(1) (2) (3)
0 时， a 与 a 同向， | a | 0 时， a
0
0 时， a 与 a 反向， | a | |
|| a |
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设
a 0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么
a 0a
a
定理 1：设向量 a
0，那么， 向量 b 平行于 的充分必要条件是： 存在唯一的实数 ，
≠
a
λ
使 b＝ a
例 1：在平行四边形
ABCD 中，设 AB
a ， AD b ，试用
a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD ，这里 M 是平行
四边形对角线的交点。 （见图 7－ 5）
图 7－ 4 解： a b
AC
2 AM ，于是 MA
11
(a
b)
2
由于 MC
MA ， 于是 MC
( a b)
1 2 a)
(b a)
又由于
a
b BD
2
2 MD ，于是 MD
由于 MB
MD ， 于是 MB
1 (b
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维） 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住
z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以
z 轴的正向。
角度
2
转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是
2
2
． 间直角坐标系共有 八个卦限， 各轴名称分别为： x 轴、
为 xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图
图7－3空间两点y
轴、 z 轴，坐标面分别
图
7－2 所示。图 7－1 右手规则演示
7－ 2 空间直角坐标系图
M 1 M 2 的距离图 3．空间点 M ( x, y, z) 的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示
a) 在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。 4．空间两点间的距离。 若
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，
直角三角形勾股定理为：
2
2
则 M 1 M 2 的距离（见图 7－ 3），利用
2
2
d 2
M 1M 2
2
M 1 NNM 2
2
M 1 p
pN
NM 2
而
M 1 P x2 PN NM 2
x1
y2 y1 z2 z1
所以
d
M 1 M 2 ( x2
x1 ) 2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 ) 2
特殊地：若两点分别为
M ( x, y, z) ， o(0,0,0)
d oM
x 2 y 2 z2
例 1：求证以 M 1 (4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
2
证明 : M 1 M 2
2
(4 7) 2 (3 1)2 (1 2)2 14
M 2 M 3
2
(5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M 3 M 1
(5 4)2 ( 2 3) 2 (3 1) 2
3
6
(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数).docx
