高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课后提升
作业（七）1.4.1
全称量词 存在量词 (30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分) 1.下列语句不是全称命题的是 ( ) A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小
【解析】选C.“高二(一)班绝大多数同学是团员”,即“高二(一)班有的同学不是团员”,是特称命题.
2.下列命题为特称命题的是 ( ) A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于3
【解析】选D.A,B,C三个选项都含有“所有”这个全称量词,只有D选项中有存在量词“存在”. 3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是 ( ) A.对任意的a,b∈R,都有a+b-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.?x∈R,
=x
2
2
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选D.C是特称命题,A,B都是全称命题,但为假命题,只有D既为全称命题又是真命题. 4.下列命题为真命题的是 ( ) A.对任意x∈R,都有cosx<2成立 B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立 C.对任意x>0,都有3>3成立 D.存在x∈Q,使方程
x-2=0有解
x
【解析】选A.A中,由于函数y=cosx的最大值是1, 又1<2,所以A是真命题;
B中,log2(3x-1)<0?0<3x-1<1? x-2=0?x= 1 ?Q, 所以D是假命题,故选A. 5.下列命题中是全称命题并且是真命题的是 ( ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与两个相交平面都垂直 C.对任意实数c,若a+c≤b+c,则a≤b D.存在一个实数x,使不等式x-2x+3<0成立 【解析】选C.B,D是特称命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故应选C. 6.(2016·海口高二检测)下列命题中真命题为 ( ) A.若sinA=sinB,则∠A=∠B B.?x∈R,都有x+1>0 C.若lgx=0,则x=1 D.?x∈Z,使1<4x<3 【解析】选B.若sinA=sinB,不一定有∠A=∠B,A不正确,B正确;若lgx=0,则x=1,x=±1,C不正确,D不正确. 7.(2016·泰安高二检测)若命题“?x∈R,x+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 2 2 2 2 2 2 2 ( ) A.[-1,3] B.(-1,3) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 【解析】选D.依题意,关于x的不等式x+(a-1)x+1<0有解,因此Δ=(a-1)-4>0,即a-2a-3>0,解得a<-1或a>3. 8.(2016·杭州高二检测)若存在x0∈R,使a +2x0+a<0,则实数a的取值范围是 ( ) A.a<1 C.-1 B.a≤1 D.-1 2 2 2 【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a当a>0时,由Δ=4-4a>0, 解得-1 综上所述,实数a的取值范围是a<1. 二、填空题(每小题5分,共10分) 2 +2x0+a<0; 9.已知命题p:?x∈R,x-x+<0,命题q:?x0∈R,sinx0+cosx0= 2 ,则p∨q,p∧q,﹁p,﹁q中是 真命题的有________. 【解题指南】先判断p,q的真假,再判断p∨q,p∧q,﹁p,﹁q的真假. 【解析】因为x-x+= 2 ≥0, 故p是假命题,所以﹁p为真命题, 而存在x0=使sinx0+cosx0=,故q是真命题, ﹁q为假命题,因此p∨q为真命题,p∧q为假命题. 答案:p∨q,﹁p 10.已知命题p:“?x∈[0,1],a≥e”,命题q:“?x0∈R, x +4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真 命题,则实数a的取值范围是____________. 【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p,q都是真命题. 因为x∈[0,1],所以e∈[1,e], 所以a≥e;?x0∈R, 2 x +4x0+a=0, 即方程x+4x+a=0有实数解, 所以Δ=4-4a≥0, 解得a≤4,取交集得a∈[e,4]. 答案:[e,4] 【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”,其他条件不变,则实数a的取值范围是________. 【解析】若命题p∧q是假命题,则有三种情形:p真q假,p假q真,p假q假,直接求解比较复杂,可求原题结果的补集即得,[e,4]的补集是(-∞,e)∪(4,+∞). 答案:(-∞,e)∪(4,+∞) 2 三、解答题 11.(10分)已知函数f(x)=lg范围. ,若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值 【解析】根据f(x)>0得lg>lg1, 即x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立, 分离参数,得a>-x+3x在x∈[2,+∞)上恒成立, 设g(x)=-x+3x, 2 2 则g(x)=-+, 当x∈[2,+∞)时,g(x)max=f(2)=2,所以a>2, 故a的取值范围是(2,+∞). 【补偿训练】(2016·武汉高二检测)已知ax-y+2a+1=0,当a∈取值范围. 【解析】因为ax-y+2a+1=0, 所以y=ax+2a+1. 时,恒有y>0,求x的 当a∈时,恒有y>0, 即ax+2a+1>0在a∈时恒成立; 设f(a)=ax+2a+1,a∈; 则 即 解得-5 所以x的取值范围是-5
高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课后提升作业(七)1.4.1
