2．2.3 反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换
?1 0??－1 像??，??0 －1?? 0 0??－1 0??，??这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称1?? 0 －1?
的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．
2．线性变换
二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．
[对应学生用书P11]
点在反射变换作用下的象
[例1] (1)矩阵?换．
(2)矩阵?
?－1 ? 0
0?1?
?将点A(2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变
?0 1?
?将点A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换． ?1 0?
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换． [精解详析]
?－1 (1)因为?
? 0 0??2??－2?? ??＝??， 1??5?? 5?
即点A(2,5)经过变换后变为点A′(－2,5)，它们关于y轴对称， 所以该变换为关于y轴对称的反射变换(如图1)．
?0
(2)因为?
?1
称，
1??2??7?
? ??＝??，即点A(2,7)经过变换后变为点A′(7,2)，它们关于y＝x对0??7??2?
所以该变换为关于直线y＝x对称的反射变换(如图2)．
?－1 0?
(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：??表示关
? 0 －1?
于原点对称的反射变换矩阵，?于y轴对称的反射变换矩阵，?
?1 0??－1 0?
?表示关于x轴对称的反射变换矩阵，??表示关
?0 －1?? 0 1?
1?
?0 ?1 ? 0 －1?
表示关于直线y＝x对称的反射变换矩阵，???表0??－1 0?
示关于直线y＝－x对称的反射变换矩阵．
1．计算下列各式，并说明其几何意义．
?1 0??5?
(1)?? ??； ?0 －1??3?
(2)?(3)?
?－1 0??5?
? ??；
? 0 －1??3??0 ?1
1??5?? ??. 0??3?
?1 0??5?? 5?
解：(1)?? ??＝??；
?0 －1??3??－3??－1 0??5??－5?(2)?? ??＝??； ? 0 －1??3??－3?
(3)?
?0 ?1 1??5??3?? ??＝??. 0??3??5?
2
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y＝x的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．
?－1
2．求出△ABC分别在M1＝?
? 0
0?
?1 0??－1 0??，M2＝??，M3＝??对应的变换作用下1??0 －1?? 0 －1?
的几何图形，并画出示意图，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)．
解：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1,2)； 在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(2,0)，C→C″(1，－2)； 在M3下，A→A图形分别为
，B→B－2,0)，C→C－1，－2)．
曲线在反射变换作用下的象
?0 2
[例2] 椭圆＋y＝1在经过矩阵?
9?1
x2
x2
1?0?
?对应的变换后所得的曲线是什么图形？
[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．
?0 2
[精解详析] 任取椭圆＋y＝1上的一点P(x0，y0)，它在矩阵?
9?1 ?0
下变为P′(x，y)．则有?
?1
′0
′0
1?0?
?对应的变换作用
?y0＝x01??x0??x0??? ＝，故????′?′?0??y0??y0??x0＝y0
′′
.
因为点P在椭圆＋y＝1上，所以＋y0＝1，
99
x2
2
x20
2
3
2017-2018学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 2.2.3 变换的复合与矩阵的乘法反射变
