暨 南 大 学 考 试 试 卷
20_06_ - 20_07_ 学年度第__ _2_____学期 课程类别 必修[√] 选修[ ] 考试方式 开卷[ ] 闭卷[ √ ] 试卷类别(A、B) [ A ] 共 6 页 教 课程名称： 概率论与数理统计（内招生）_ 师 填 写 授课教师姓名： 邱、 张、 考试时间:__ 2007 年 _7 _ 月 __ 13_ 日 考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[ ] 外招[ ] 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分
1．某班共有30名学生，其中3名来自北京。今从班上任选2名学生去参观展览，其中恰有1名学生来自北京的概率为 27/145 。 2．一批产品的废品率为0.1，从中重复抽取m件进行检查，这m件产品中至少有1件废品的概率为
1?(0.9)m评阅人 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
。
?2x,0?x?113．设连续型随机变量?~?(x)??，则P(??)? 1/4 。
2?0,其它4．设二元随机变量(?,?)的联合概率密度函数为
?ce?(x?y),0?x,y?1?(x,y)??
0,其他,? 则c?(e?1?1)?2。
5．设随机变量?服从正态分布N(4,32)，则?的期望E?? 4 ，
方差D?? 9 。 得分
1．设A、B、C为三个事件，则事件“A、B、C中恰有两个发生”可表示为（ (c) ）。
(a) AB?AC?BC； (b) A?B?C； (c) ABC?ABC?ABC； (d) ABC 2．已知随机变量?具有如下分布律
评阅人 二、单选题（共5小题，每小题3分，共15分。请
把正确答案填在题后的括号内）
??123???， ?pk0.1j? 且E(?2)?5.3，则j?（ (a) ）。
(a) 0.5； (b) 0.2； (c) 0； (d) 0.1 3．设随机变量?服从二项分布B(100,0.1)，则?的期望E?和方差D?分别为（ (b) ）。
(a) E?=10，D?=0.09； (b) E?=10，D?=9； (c) E?=90，D?=10； (d) E?=1，D?=3
?2e?2x,x?04．设随机变量?服从指数分布，其概率密度函数为?(x)??，则?的
?0,x?0期望E??（ (c) ）。
(a) 4； (b) 2； (c)
11； (d) 245．设?1,?2和?3为总体期望值?的三个无偏估计量，且D?1?D?2,D?1?D?3，则以下结论（ (d) ）成立。
(a) ?1是?的有效估计量； (b) ?2是比?1有效的估计量； (c) ?3是比?1有效的估计量； (d) ?1是比?2有效的估计量 得分
评阅人 三、计算题（本题12分）
设有相同规格的杯子13个，其中白色7个，绿色6个。现将其分放在甲、
乙两个箱子中，在甲箱子中放入5个白色杯子和3个绿色杯子，其余的放入乙箱子中。
(1) 今从甲箱中任取一个杯子放入乙箱，再从乙箱中取出一个杯子，求取到白色杯子的概率。
(2) 若(1)题中从乙箱取出的是白色杯子，求从甲箱中取出绿色杯子放入乙箱的概率。
解 用B表示事件：“从乙箱中取出一个杯子为白色杯子”；
“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为白色杯子”； A表示事件：
“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为绿色杯子”。 A表示事件：
（1）由全概率公式，所求事件的概率为：
5332527P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)???????. （7分）
8686161616（2）由贝叶斯公式，所求事件的概率为：
32?P(A)P(B|A)86?2. （12分） P(A|B)??77P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)16得分 评阅人 四、计算题（本题8分）
设随机变量?服从正态分布N(2,22)，求P(|??2|?2)及P(??1)。 解 由于?~N(2,22)，则??P(|??2|?2)?P(|??22~N(0,1)。于是
2|?)?P(|?|?1) 22?2?0(1)?1?2?0.8413?1?0.6826. （4分）??2
P(??1)?P(??21?2?)?P(???0.5)?1?P(???0.5) 22?1??0(?0.5)??0(0.5)?0.6915. （8分）得分 评阅人 五、证明题（本题10分）
?1设总体?的概率密度函数为?(x)?e2??(x??)22?2且??0）（?,?为参数，，
(x1,x2,???,xn)为总体?的一组样本观察值。试证明?2的最大似然估计为
1n2????(xi?x)2，其中x为样本观察值(x1,x2,???,xn)的平均数。 ni?1证明 似然函数为 L??n12??2i?1e?(xi??)22?2?(1n1)?(2)e?2?n2??(xi??)22?2i?11n，
1n1)?ln?2?2 lnL?nln(22?2??lnL1?2????(x??)ii?1n2， （3分）
n?(x??),ii?1n?lnLn1?????22?22?4?(x??)ii?12.
?1n(xi??)?02???lnL?lnL??i?1??0 令得： ?n????22??n?1(x??)?0,?i24?2?i?1?2? （7分）
由上述方程组解得?及?2的最大似然估计分别为
nnn11122?????)??xi?x，(xi??(xi?x)2. （10分） ? ???ni?1ni?1ni?1于是结论得证. 得分 评阅人 六、应用题（本题10分）
1已知一批零件的长度（单位：dm）服从正态分布N(?,()2)，从中随机抽
5取9个零件，测得其长度如下：
6.11，5.89，5.98，6.00，6.10，5.90，6.02，5.90，6.10，
试求置信度为0.995的期望?的置信区间。
1解 令n?9，?2?()2，??0.005。样本的平均数为
51X?(6.11+5.89+5.98+6.00+6.10+5.90+6.02+5.90+6.10)=6.00，
9由?0(u?)?1?于是?21?1?0.0025?0.9975及参考数据得u??2.81. （4分） ?2.81?0.1873，从而置信度为0.995的期望?的置信区间为：
?nu??59
(X??nu?,X??nu?)，即 (6?0.1873,6?0.1873)，即(5.8123,6.1873).
（10分） 得分 评阅人 七、应用题（本题11分）
设在某次全国资格考试中考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为65分，标准差为10分。问能否据此样本认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ （??0.05） 解 设考生的成绩为?，则?~N(?,?2)，其中?,?2未知. （1）待检假设为 H0:???0?70. （2）作样本的统计量：T?X??0，其中X?65,S?10,n?25，则在H0的Sn假设下，T~t(n?1)?t(24).
（3）对给定的检验水平??0.05，由P(|T|?t?)???0.05及参考数据得临界值
t??t0.05(24)?2.064. （6分）
（4）根据给定的样本平均数X及样本方差S，实际计算|T|:
|T|?|(65?70)/(105)|??2.5.
225（5）由于|T|?2.5?2.064?t0.05(24)，故应拒绝接受假设H0，从而据此样本不能
认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. （11分） 得分 评阅人 八、应用题（本题10分）
某种羊毛在处理前后，各抽取容量为10和8的样本，测得其含脂率（%）的样本方差分别为270.9和301.0。假定羊毛含脂率服从正态分布，问处理后羊毛含脂率的标准差有无显著变化？ （??0.01）
解 设羊毛在处理前后的含脂率分别为?1及?2，则?i~N(?i,?i2)（其中?i,?i未知，i?1,2）
暨南大学06-07年概率论与数理统计试卷及答案
