专题11 概率与统计
第三十一讲 离散型随机变量及其分布答案部分
2019年
1.【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为
2， 3k3?k?2?k?2??1?故X~B?3,?，从面P?X?k??C3?????k?0,1,2,3?.
?3??3??3?所以，随机变量X的分布列为：
X 0 P 随机变量X的数学期望E(X)?3?1 2 3 1482 9279272?2. 3??2??. 3?(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则Y~B?3,且M?{X?3,Y?1}U{X?2,Y?0}.
由题意知事件?X?3,Y?1?与?X?2,Y?0?互斥，
且事件?X?3?与?Y?1?，事件?X?2?与?Y?0?均相互独立， 从而由(Ⅰ)知：
P(M)?P??X?3,Y?1?U?X?2,Y?0?? ?P?X?3,Y?1??P?X?2,Y?0? ?P(X?3)P(Y?1)?P(X?2)P(Y?0)
?824120????. 2799272432.【解析】（1）由题意可知X所有可能的取值为：?1，0，1
?P?X??1???1????；P?X?0??????1????1???；P?X?1????1???
则X的分布列如下：
X P ?1 0 1 ?1???? ????1????1??? ??1??? （2）Q??0.5，??0.8
?a?0.5?0.8?0.4，b?0.5?0.8?0.5?0.2?0.5，c?0.5?0.2?0.1
（i）Q即
pi?api?1?bpi?cpi?1?i?1,2,???,7?
pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?
?4pi?1?pi?1?i?1,2,???,7? ?pi?1?pi?4?pi?pi?1??i?1,2,???,7?
整理可得：5pi??pi?1?pi??i?0,1,2,???,7?是以p1?p0为首项，4为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
pi?1?pi??p1?p0??4i?p1?4i
?p8?p7?p1?47，p7?p6?p1?46，……，p1?p0?p1?40
881?44?1作和可得：p8?p0?p1?40?41?????47?p1?p1?1
1?43???p1?3 48?11?4444?1311 ?p4?p4?p0?p1?4?4?4?4?p1??8?4?1?434?14?1257?0123?p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为
0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?说明这种实验方案合理.
3. 【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：100?30?25?5?40人，则： 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p?(Ⅱ)由题意可知，
1?0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，257402?. 100532，金额大于1000的人数占， 5523仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
55仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占且X可能的取值为0,1,2.
326?3??2?13，pX?2?3?2?6，
p?X?0????，p?X?1??????????55255525?5??5?25X的分布列为： X 0 1 2 22p?X? 6 2513 256 25其数学期望：E?X??0?6136?1??2??1. 252525(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
2015-2018年
一、选择题
1 B【解析】QD?X??np?1?p??p?0.4或p?0.6
4466QP?X?4??C10p?1?p??P?X?6??C10p?1?p?，
64??1?p??p2,可知p?0.5故答案选B.
2.1.96【解析】分布X~B?100,0.02?，由公式得到结果. 由于是有放回的抽样，所以是二项分布X~B?100,0.02?，
2DX?npq?100?0.02?0.97?1.96,填1.96
3.【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 0.25=50． 第四类电影中获得好评的电影部数是200×故所求概率为
50?0.025． 2000（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（AB?AB）=P（AB）+P（AB） =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）． 由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2． 0.8+0.75×0.2=0.35． 故所求概率估计为0.25×
（Ⅲ）D?1>D?4>D?2=D?5>D?3>D?6．
24.【解析】. （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f?p??C220p?1?p?18181717222因此f??p??C20?2p?1?p??18p?1?p???2C20p?1?p??1?10p?.
??令f??p??0，得p?0.1.当p??0,0.1?时，f??p??0；当p??0.1,1?时，f??p??0. 所以f?p?的最大值点为p0?0.1； （2）由（1）知，p?0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y?B?180,0.1?，
X?20?2?25Y，即X?40?25Y.
所以EX?E?40?25Y??40?25EY?490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验.
5.【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
3?kCk4?C3P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
C37所以，随机变量X的分布列为
X P
0 1 2 3 1 3512 3518 354 35随机变量X的数学期望E?X??0?11218412?1??2??3??． 353535357（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为
6． 76． 76.【解析】（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 P?X?200??P?X?300??2?16?0.290
36?0.490 25?7?4P?X?500???0.490 .
因此X的分布列为
X P 200 300 500 0.2 0.4 0.4 ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500 当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间?20，,25?，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200≤n?300时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。
专题11 概率与统计第三十一讲 离散型随机变量及分布（解析版）
