（2）证明：设f(x)?x?x2，x?(0,1). 因为f?(x)?1?2x，x?(0,1)
1 所以，当x?(0,)时，f?(x)?1?2x?0，f(x)单调递增，
2f(x)?x?x2?f(0)?0；
1 当x?(,1)时，f?(x)?1?2x?0，f(x)单调递减，
2f(x)?x?x2?f(1)?0；
11 又f()??0. 因此，x?x2?0，x?(0,1). 图略
24（3）证明：设f(x)?ex?1?x，x?0. 因为f?(x)?ex?1，x?0
所以，当x?0时，f?(x)?ex?1?0，f(x)单调递增，
f(x)?ex?1?x?f(0)?0；
当x?0时，f?(x)?ex?1?0，f(x)单调递减，
f(x)?ex?1?x?f(0)?0；
综上，ex?1?x，x?0. 图略 （4）证明：设f(x)?lnx?x，x?0. 因为f?(x)?1?1，x?0 x1?1?0，f(x)单调递增， x 所以，当0?x?1时，f?(x)?f(x)?lnx?x?f(1)??1?0；
当x?1时，f?(x)?1?1?0，f(x)单调递减， xf(x)?lnx?x?f(1)??1?0；
当x?1时，显然ln1?1. 因此，lnx?x. 由（3）可知，ex?x?1?x，x?0.
. 综上，lnx?x?ex，x?0 图略 2、（1）函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象大致是个“双峰”图象，类似“
”或“
”
的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.
（2）因为f(x)?ax3?bx2?cx?d，所以f?(x)?3ax2?2bx?c. 下面分类讨论：
当a?0时，分a?0和a?0两种情形： ①当a?0，且b2?3ac?0时，
设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，
当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时，
此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增. ②当a?0，且b2?3ac?0时，
设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，
当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时，
此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A组（P37）
1、设两段铁丝的长度分别为x，l?x，则这两个正方形的边长分别为
xl?x，，两个正方44xl?x21)?(2x2?2lx?l2)，0?x?l. 形的面积和为 S?f(x)?()2?(4416l 令f?(x)?0，即4x?2l?0，x?.
2ll 当x?(0,)时，f?(x)?0；当x?(,l)时，f?(x)?0.
22l 因此，x?是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.
2l 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
22、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
xa盖方盒的底面为正方形，且边长为a?2x，高为x.
a （1）无盖方盒的容积V(x)?(a?2x)2x，0?x?.
2（2）因为V(x)?4x3?4ax2?a2x， 所以V?(x)?12x2?8ax?a2.
aa（舍去），或x?. 26aaa 当x?(0,)时，V?(x)?0；当x?(,)时，V?(x)?0.
662a 因此，x?是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.
6a 所以，当x?时，无盖方盒的容积最大.
63、如图，设圆柱的高为h，底半径为R， 令V?(x)?0，得x?则表面积S?2?Rh?2?R2
RV. 2?RV2V2?2?R??2?R2，R?0. 因此，S(R)?2?R2?RR 由V??R2h，得h? 令S?(R)??h2VV?4?R?0，解得R?3. R2? 当R?(0,3V)时，S?(R)?0； 2?（第3题）
当R?(3V,??)时，S?(R)?0. 2?3 因此，R?VVV3是函数S(R)的极小值点，也是最小值点. 此时，h??2?2R. 2??R22? 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
1n2n24、证明：由于f(x)??(x?ai)，所以f?(x)??(x?ai).
ni?1ni?11n 令f?(x)?0，得x??ai，
ni?11n 可以得到，x??ai是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.
ni?11n 这个结果说明，用n个数据的平均值?ai表示这个物体的长度是合理的，
ni?1 这就是最小二乘法的基本原理.
x?x22m， 5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m，半圆的面积为
28矩形的面积为a??x2a?x)m m2，矩形的另一边长为(?x88因此铁丝的长为l(x)??x2?x?2a?x?2a8a??(1?)x?，0?x? x44x?令l?(x)?1??4?2a8a?0，得（负值舍去）. x?x24??当x?(0,8a8a8a)时，l?(x)?0；当x?(,)时，l?(x)?0. 4??4???8a是函数l(x)的极小值点，也是最小值点. 4??因此，x?所以，当底宽为8am时，所用材料最省. 4??6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价. 由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.
11 收入R?q?p?q(25?q)?25q?q2，
8811 利润L?R?C?(25q?q2)?(100?4q)??q2?21q?100，0?q?200.
881 求导得L???q?21
41 令L??0，即?q?21?0，q?84.
4 当q?(0,84)时，L??0；当q?(84,200)时，L??0；
因此，q?84是函数L的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润L最大,
习题1.4 B组（P37）
1、设每个房间每天的定价为x元，
x?1801)(x?20)??x2?70x?1360，180?x?680. 那么宾馆利润L(x)?(50?10101 令L?(x)??x?70?0，解得x?350.
5 当x?(180,350)时，L?(x)?0；当x?(350,680)时，L?(x)?0.
因此，x?350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.
所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x元／件时，
b?x45b?4)?c(x?a)(5?x)，a?x?. 利润L(x)?(x?a)(c?cbb48c4ac?5bc4a?5b?0，解得x? 令L?(x)??x?.
bb84a?5b4a?5b5b)时，L?(x)?0；当x?(,)时，L?(x)?0. 当x?(a,8844a?5b 当x?是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.
84a?5b 所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
81．5定积分的概念 练习（P42） 8. 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）
ii1i121、?si??si??v()?t?[?()2?2]???()2???，i?1,2,?,n.
nnnnnni 于是 s???si???si???v()?t
ni?1i?1i?1i12??[?()2???]
nnni?111n?121n21??()2????()??()??2
nnnnnn1??3[1?22???n2]?2
n1n(n?1)(2n?1)??3??2
n6111??(1?)(1?)?2
3n2n 取极值，得
n1i1115 s?lim?[v()]?lim?[?(1?)(1?)?2]?
n??n??n3n2n3i?1ni?1nnnnn说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
222、km.
3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.
练习（P48）
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