当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:
x f?(x) f(x) (??,?3) + 单调递增 ?3 0 54 (?3,3) - 单调递减 3 0 (3,??) + ?54 单调递增 因此,当x??3时,f(x)有极大值,并且极大值为54;
当x?3时,f(x)有极小值,并且极小值为?54.
(3)因为f(x)?6?12x?x3,所以f?(x)?12?3x2. 令f?(x)?12?3x2?0,得x??2. 下面分两种情况讨论:
①当f?(x)?0,即?2?x?2时;②当f?(x)?0,即x??2或x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:
x f?(x) f(x) (??,?2) - 单调递减 ?2 (?2,2) + 单调递增 2 0 22 (2,??) - 单调递减 0 ?10 因此,当x??2时,f(x)有极小值,并且极小值为?10;
当x?2时,f(x)有极大值,并且极大值为22
(4)因为f(x)?3x?x3,所以f?(x)?3?3x2. 令f?(x)?3?3x2?0,得x??1. 下面分两种情况讨论:
①当f?(x)?0,即?1?x?1时;②当f?(x)?0,即x??1或x?1时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:
x f?(x) (??,?1) - 单调递减 ?1 0 ?2 (?1,1) + 单调递增 1 0 2 (1,??) - 单调递减 f(x) 因此,当x??1时,f(x)有极小值,并且极小值为?2;
当x?1时,f(x)有极大值,并且极大值为2
练习(P31)
(1)在[0,2]上,当x?1149时,f(x)?6x2?x?2有极小值,并且极小值为f()??. 121224 又由于f(0)??2,f(2)?20.
因此,函数f(x)?6x2?x?2在[0,2]上的最大值是20、最小值是?49. 24(2)在[?4,4]上,当x??3时,f(x)?x3?27x有极大值,并且极大值为f(?3)?54;
当x?3时,f(x)?x3?27x有极小值,并且极小值为f(3)??54;
又由于f(?4)?44,f(4)??44.
因此,函数f(x)?x3?27x在[?4,4]上的最大值是54、最小值是?54.
1(3)在[?,3]上,当x?2时,f(x)?6?12x?x3有极大值,并且极大值为f(2)?22.
3155 又由于f(?)?,f(3)?15.
327155 因此,函数f(x)?6?12x?x3在[?,3]上的最大值是22、最小值是.
327(4)在[2,3]上,函数f(x)?3x?x3无极值. 因为f(2)??2,f(3)??18.
因此,函数f(x)?3x?x3在[2,3]上的最大值是?2、最小值是?18. 习题1.3 A组(P31)
1、(1)因为f(x)??2x?1,所以f?(x)??2?0. 因此,函数f(x)??2x?1是单调递减函数.
(2)因为f(x)?x?cosx,x?(0,),所以f?(x)?1?sinx?0,x?(0,). 22 因此,函数f(x)?x?cosx在(0,)上是单调递增函数. 2 (3)因为f(x)??2x?4,所以f?(x)??2?0. 因此,函数f(x)?2x?4是单调递减函数. (4)因为f(x)?2x3?4x,所以f?(x)?6x2?4?0.
??? 因此,函数f(x)?2x3?4x是单调递增函数. 2、(1)因为f(x)?x2?2x?4,所以f?(x)?2x?2.
当f?(x)?0,即x??1时,函数f(x)?x2?2x?4单调递增. 当f?(x)?0,即x??1时,函数f(x)?x2?2x?4单调递减. (2)因为f(x)?2x2?3x?3,所以f?(x)?4x?3.
当f?(x)?0,即x?34时,函数f(x)?2x2?3x?3单调递增. 当f?(x)?0,即x?34时,函数f(x)?2x2?3x?3单调递减.
(3)因为f(x)?3x?x3,所以f?(x)?3?3x2?0. 因此,函数f(x)?3x?x3是单调递增函数. (4)因为f(x)?x3?x2?x,所以f?(x)?3x2?2x?1. 当f?(x)?0,即x??1或x?1时,函数f(x)?x3?x23?x单调递增. 当f?(x)?0,即?1?x?13时,函数f(x)?x3?x2?x单调递减.
3、(1)图略. (2)加速度等于0. 4、(1)在x?x2处,导函数y?f?(x)有极大值; (2)在x?x1和x?x4处,导函数y?f?(x)有极小值; (3)在x?x3处,函数y?f(x)有极大值; (4)在x?x5处,函数y?f(x)有极小值. 5、(1)因为f(x)?6x2?x?2,所以f?(x)?12x?1. 令f?(x)?12x?1?0,得x??112. 当x??112时,f?(x)?0,f(x)单调递增; 当x??112时,f?(x)?0,f(x)单调递减.
所以,x??112时,f(x)有极小值,并且f(?112)?6?(?112)2?14912?2??24.
(2)因为f(x)?x3?12x,所以f?(x)?3x2?12.
极小值为
令f?(x)?3x2?12?0,得x??2. 下面分两种情况讨论:
①当f?(x)?0,即x??2或x?2时;②当f?(x)?0,即?2?x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:
x f?(x) f(x) (??,?2) + 单调递增 ?2 (?2,2) - 单调递减 2 0 (2,??) + 0 16 ?16 单调递增 因此,当x??2时,f(x)有极大值,并且极大值为16;
当x?2时,f(x)有极小值,并且极小值为?16.
(3)因为f(x)?6?12x?x3,所以f?(x)??12?3x2. 令f?(x)??12?3x2?0,得x??2. 下面分两种情况讨论:
①当f?(x)?0,即x??2或x?2时;②当f?(x)?0,即?2?x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:
x f?(x) f(x) (??,?2) + 单调递增 ?2 (?2,2) - 单调递减 2 0 (2,??) + 0 22 ?10 单调递增 因此,当x??2时,f(x)有极大值,并且极大值为22;
当x?2时,f(x)有极小值,并且极小值为?10.
(4)因为f(x)?48x?x3,所以f?(x)?48?3x2. 令f?(x)?48?3x2?0,得x??4. 下面分两种情况讨论:
①当f?(x)?0,即x??2或x?2时;②当f?(x)?0,即?2?x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:
x f?(x) f(x) (??,?4) - 单调递减 ?4 (?4,4) + 单调递增 4 0 128 (4,??) - 单调递减 0 ?128 因此,当x??4时,f(x)有极小值,并且极小值为?128;
当x?4时,f(x)有极大值,并且极大值为128.
6、(1)在[?1,1]上,当x??147时,函数f(x)?6x2?x?2有极小值,并且极小值为. 1224 由于f(?1)?7,f(1)?9,
所以,函数f(x)?6x2?x?2在[?1,1]上的最大值和最小值分别为9,
47. 24 (2)在[?3,3]上,当x??2时,函数f(x)?x3?12x有极大值,并且极大值为16; 当x?2时,函数f(x)?x3?12x有极小值,并且极小值为?16. 由于f(?3)?9,f(3)??9,
所以,函数f(x)?x3?12x在[?3,3]上的最大值和最小值分别为16,?16.
11 (3)在[?,1]上,函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上无极值.
331269 由于f(?)?,f(1)??5,
3271269 所以,函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上的最大值和最小值分别为,?5.
327 (4)当x?4时,f(x)有极大值,并且极大值为128.. 由于f(?3)??117,f(5)?115,
所以,函数f(x)?48x?x3在[?3,5]上的最大值和最小值分别为128,?117. 习题3.3 B组(P32)
1、(1)证明:设f(x)?sinx?x,x?(0,?). 因为f?(x)?cosx?1?0,x?(0,?) 所以f(x)?sinx?x在(0,?)内单调递减
因此f(x)?sinx?x?f(0)?0,x?(0,?),即sinx?x,x?(0,?). 图略
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答资料
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