同理可得：相似比为：，
利用面积比等于相似比的平方可得：
S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．
19. （2019年海南省）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、分类讨论与数形结合思想 【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①， 令y＝0，则x＝﹣1或﹣5， 即点C（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
，解得：
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝x+1…②， 设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
S△PBC＝
∵
PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，
；
＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为
②设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为（﹣
，﹣
），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1， 设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③， 同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④， 联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2）， 同理可得直线BH的表达式为：y＝联立①⑤并解得：x＝﹣故点P（﹣
，﹣
）；
，﹣
）
x﹣1…⑤，
或﹣4（舍去﹣4），
当点P（P′）在直线BC上方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5， 即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4）， 故点P（0，5）； 故点P的坐标为P（﹣
，﹣
）或（0，5）．
20.（2019年西藏）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），
C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】待定系数法、二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、探究特殊三角形问题、分类讨论与数形结合思想
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0） ∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F ∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3 ∵点P在线段AB上方抛物线上 ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0） ∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝
2+
PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）
，
），△PAB面积最大
∴点P运动到坐标为（﹣
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3） ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴对称轴为直线x＝﹣1 ∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称 ∴
＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90° ∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2 ∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t ∴﹣t2﹣3t＝2+2t 解得：t1＝∴P（
，
，t2＝
）
，
）时使△PDE为等腰直角
（舍去）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（三角形．
2019年全国中考数学真题分类汇编3：代数几何综合压轴题
