又0＜A＜π， 2π
所以A＝. 3(2)由正弦定理得：b＝
asin B＝23sin B，c＝23sin C， sin Al＝a＋b＋c＝3＋23(sin B＋sin C)
＝3＋23[sin B＋sin(A＋B)] 3?1?
＝3＋23?sin B＋cos B?
2?2?
?π?＝3＋23sin?B＋?， 3??
2π?π?因为A＝，所以B∈?0，?，
3?3?π?π2π?所以B＋∈?，?，
3?3?3
?π??3?所以sin?B＋?∈?，1?， 3??2??
则△ABC的周长l的取值范围为(6，3＋23 ]．
15．(2024·湖州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.
(1)求角A的值；
(2)求3sin B－cos C的最大值．
解：(1)因为(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A) ＝3sin Bsin C，
由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
b2＋c2－a21π
所以b＋c－a＝bc，所以cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝. 2bc23
2
2
2
π2π
(2)由A＝，得B＋C＝，
33所以3sin B－cos C＝3sin B－cos?
?2π－B?
?
?3?
3?1??π?＝3sin B－?－cos B＋sin B?＝sin?B＋?.
6??2?2?2πππ5π
因为0＜B＜，所以＜B＋＜，
3666
πππ
当B＋＝，即B＝时，3sin B－cos C的最大值为1.
623
16．(2024·宁波镇海中学模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2sin
B，且满足tan A＋tan C＝
2sin B. cos A(1)求角C和边c的大小； (2)求△ABC面积的最大值．
2sin Bsin Asin C解：(1)tan A＋tan C＝可得＋＝
cos Acos Acos Csin Acos C＋cos Asin Csin（A＋C）sin B2sin B＝＝＝，
cos Acos Ccos Acos Ccos Acos Ccos A1所以cos C＝，
2因为0＜C＜π， π
所以C＝，
3因为b＝2sin B，
由正弦定理可得＝＝2，
sin Csin B所以c＝
6. 2
2
2
2
cb(2)由余弦定理可得c＝a＋b－2abcos C，
322
所以＝a＋b－ab≥2ab－ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号．
2133333
所以S△ABC＝absin C＝ab≤×＝，
2442833
故△ABC面积的最大值为.
8
π2π
17．(2024·成都市第二次诊断性检测)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，
23
AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝
(1)求sin∠BCE的值； (2)求CD的长．
2π
，EC＝7. 3
解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知
＝.
sin∠BCEsin BBECE
2π
因为B＝，BE＝1，CE＝7，
33
BE·sin B221
所以sin∠BCE＝＝＝. CE7142π
(2)因为∠CED＝∠B＝，
3所以∠DEA＝∠BCE，
所以cos∠DEA＝1－sin∠DEA＝1－sin∠BCE＝π
因为A＝，
2
所以△AED为直角三角形，又AE＝5， 所以ED＝
5＝＝27.
cos∠DEA57
14
2
2
22
2
3571－＝. 2814
AE在△CED中，CD＝CE＋DE－2CE·DE·
?1?cos∠CED＝7＋28－2×7×27×?－?＝49. ?2?
所以CD＝7.
2024高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第2讲 三角恒等变换与解三角形专题强化训练
