又0<A<π, 2π
所以A=. 3(2)由正弦定理得:b=
asin B=23sin B,c=23sin C, sin Al=a+b+c=3+23(sin B+sin C)
=3+23[sin B+sin(A+B)] 3?1?
=3+23?sin B+cos B?
2?2?
?π?=3+23sin?B+?, 3??
2π?π?因为A=,所以B∈?0,?,
3?3?π?π2π?所以B+∈?,?,
3?3?3
?π??3?所以sin?B+?∈?,1?, 3??2??
则△ABC的周长l的取值范围为(6,3+23 ].
15.(2024·湖州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(sin A+sin B+sin C)(sin B+sin C-sin A)=3sin Bsin C.
(1)求角A的值;
(2)求3sin B-cos C的最大值.
解:(1)因为(sin A+sin B+sin C)(sin B+sin C-sin A) =3sin Bsin C,
由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
b2+c2-a21π
所以b+c-a=bc,所以cos A==,因为A∈(0,π),所以A=. 2bc23
2
2
2
π2π
(2)由A=,得B+C=,
33所以3sin B-cos C=3sin B-cos?
?2π-B?
?
?3?
3?1??π?=3sin B-?-cos B+sin B?=sin?B+?.
6??2?2?2πππ5π
因为0<B<,所以<B+<,
3666
πππ
当B+=,即B=时,3sin B-cos C的最大值为1.
623
16.(2024·宁波镇海中学模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b=2sin
B,且满足tan A+tan C=
2sin B. cos A(1)求角C和边c的大小; (2)求△ABC面积的最大值.
2sin Bsin Asin C解:(1)tan A+tan C=可得+=
cos Acos Acos Csin Acos C+cos Asin Csin(A+C)sin B2sin B===,
cos Acos Ccos Acos Ccos Acos Ccos A1所以cos C=,
2因为0<C<π, π
所以C=,
3因为b=2sin B,
由正弦定理可得==2,
sin Csin B所以c=
6. 2
2
2
2
cb(2)由余弦定理可得c=a+b-2abcos C,
322
所以=a+b-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号.
2133333
所以S△ABC=absin C=ab≤×=,
2442833
故△ABC面积的最大值为.
8
π2π
17.(2024·成都市第二次诊断性检测)如图,在平面四边形ABCD中,已知A=,B=,
23
AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=
(1)求sin∠BCE的值; (2)求CD的长.
2π
,EC=7. 3
解:(1)在△BEC中,由正弦定理,知
=.
sin∠BCEsin BBECE
2π
因为B=,BE=1,CE=7,
33
BE·sin B221
所以sin∠BCE===. CE7142π
(2)因为∠CED=∠B=,
3所以∠DEA=∠BCE,
所以cos∠DEA=1-sin∠DEA=1-sin∠BCE=π
因为A=,
2
所以△AED为直角三角形,又AE=5, 所以ED=
5==27.
cos∠DEA57
14
2
2
22
2
3571-=. 2814
AE在△CED中,CD=CE+DE-2CE·DE·
?1?cos∠CED=7+28-2×7×27×?-?=49. ?2?
所以CD=7.
2024高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第2讲 三角恒等变换与解三角形专题强化训练



